2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[3](択一)

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[3] 複素平面において，原点 $\mbox{O}$ ではない点 $\mbox{P}(z_1)$ を $\mbox{O}$ を中心として反時計まわりに　 $\dfrac{7}{6}\pi$ だけ回転し，さらに，実軸の正の方向に2だけ平行移動した点を $\mbox{Q}(z_2)$ とする． $z_1=a+b i$ ， $z_2=b-a i$ （ $a，b$ は実数）となるような $a$ と $b$ の組は $\fbox{　5　}$ である．また， $(a，b)$ がこの組であるとき， $\triangle\mbox{POQ}$ の内接円の中心を表す複素数は $\fbox{　6　}$ となる．ここで， $i$ は虚数単位である．

$\fbox{　5　}$ の選択肢
(1) $(\sqrt{2}，1)\qquad$ (2) $(\sqrt{3}，1)\qquad$ (3) $(\sqrt{2}，2)\qquad$ (4) $(\sqrt{3}，2)\qquad$ (5) $(2，1)\qquad$

$\fbox{　6　}$ の選択肢
(1) $\dfrac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}+\dfrac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}i\qquad$
(2) $\dfrac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}i\qquad$
(3) $\dfrac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}i\qquad$
(4) $\dfrac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}-\dfrac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}i\qquad$
(5) $\dfrac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}-\dfrac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}i\qquad$

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[解答]
$z_1=z_2 i$ であるから， $z_2$ を原点中心に $\dfrac{5}{3}\pi$ 回転して（この点を $u$ とする）実軸正の向きに2平行移動すると元の $z_2$ に戻る．つまり， $0，z_2，u$ は1辺の長さが2の正三角形となる．よって $z_2=1-\sqrt{3}i$ となり， $\alpha=\sqrt{3}$ ， $\beta=1$ となる．

この三角形は直角2等辺三角形なので内心は
$(2-\sqrt{2})\dfrac{z_1+z_2}{2}$
$=\dfrac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}i$
となる．