2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[2](択一)

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[2] 正の実数 $x$ の関数 $f(x)=\log x$ がある． $y=f(x)$ の逆関数を $y=g(x)$ とする．また， $h(x)=4x+k$ がる．ここで， $k$ は実数の定数， $\log x$ は自然対数であり，自然対数の底を $e$ とする．なお， $2.7\lt e\lt 2.8$ である．また，区間 $[1,e]$ を $I$ とする．

ある実数の定数 $m$ があって， $I$ 内の全ての $x$ に対して $h(x)\geqq m\geqq f(x)$ が成り立っているとする．このような $k$ のうち最小のものは $\fbox{　3　}$ である．
また， $I$ 内のある $x$ に対して $h(x)\geqq n\geqq f(x)$ となる実数の定数 $n$ が存在するとする．このような $k$ のうち最小のものは $\fbox{　4　}$ である．

$\fbox{　3　}$ の選択肢
(1) $1\qquad$ (2) $0\qquad$ (3) $-1\qquad$ (4) $-2\qquad$ (5) $-3\qquad$

$\fbox{　4　}$ の選択肢
(1) $4+2\log 2\qquad$ (2) $4-2\log 2\qquad$ (3) $4-4\log 2\qquad$ (4) $4-8\log 2\qquad$ (5) $4-12\log 2\qquad$

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[解答]
(1) $I$ 内の全ての $x$ に対して
$h(x)\geqq h(1)=4+k$ ， $f(x)\leqq f(e)=1$
が成立するので
$4+k\leqq m \leqq 1$
をみたす実数の定数 $m$ が存在するような $k$ の最小値を求めれば良く，それは $k=-3$ である．

(2) $g(x)=e^x$ であり，これは区間 $I$ で下に凸であるから，題意をみたす $k$ は端点または接点で最小となる．今， $y=e^x$ の傾きが 4 となる接点は $x=\log 4$ であり， $e^e\gt 2^2=4$ より接点は区間 $I$ 内にある．よって $k$ の最小値は $y=h(x)$ が $y=g(x)$ の接線となるときである．ここで接線の方程式は $y=4(x-\log 4)+4=4x+4-8\log 2$ となり，求める $k$ の最小値は $4-8\log 2$ である．