[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[6](数字)

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[6] ある科目の授業が週に1回あり，2人の学生がその授業を受けることになっている．どちらの学生も，独立に 0.8 の確率で授業に出席するものとする．ただし，授業の出席人数が 0 人になったときは，どちらの学生も次の週には独立に 0.9 の確率で授業に出席するものとする．第1回目の授業に出席する確率はどちらも 0.8 である．第 n 回目の授業の出席人数が0人である確率を a_n とする（n=1，2，3，…）．このとき， a_2 の値は \dfrac{\fbox{　15　}\fbox{　16　}}{\fbox{　17　}\fbox{　18　}\fbox{　19　}\fbox{　20　}} である．また \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n の値は \dfrac{\fbox{　21　}}{\fbox{　22　}\fbox{　23　}\fbox{　24　}} である．（分数はそれ以上約分できない形で解答すること．）

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[解答]
a_1=\dfrac{4}{100}，
a_{n+1}=\dfrac{1}{100}a_n+\dfrac{4}{100}(1-a_n)=\dfrac{4-3a_n}{100}
が成立する．

よって
a_2=\dfrac{400-12}{10000}=\dfrac{97}{2500}
である．また，c=\dfrac{4}{103} とおくと
a_{n+1}-c=\dfrac{-3}{100}(a_n-c)
から
a_n=c+\left(\dfrac{-3}{100}\right)^{n-1}\left(\dfrac{4}{100}-c\right)
となるので，
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=c=\dfrac{4}{103}
となる．

よって \dfrac{\fbox{　15　}\fbox{　16　}}{\fbox{　17　}\fbox{　18　}\fbox{　19　}\fbox{　20　}}=\dfrac{97}{2500}，\dfrac{\fbox{　21　}}{\fbox{　22　}\fbox{　23　}\fbox{　24　}}＝\dfrac{4}{103} である．