2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[5] $N$ を1以上の整数とする．数字 $1$ ， $2$ ，……， $N$ が書かれたカードを1枚ずつ，計 $N$ 枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

(i) 甲が $1$ 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を $a$ とする．ひいたカードはもとに戻す．

(ii) 甲はもう $1$ 回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数を $b$ とする．ひいたカードはもとに戻す．ひかなかった場合は， $b=0$ とする． $a+b\gt N$ の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iii) $a+b\leqq N$ の場合は，乙が $1$ 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を $c$ とする．ひいたカードはもとに戻す． $a+b\lt c$ の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iv) $a+b\geqq c$ の場合は，乙はもう $1$ 回カードをひく．そのカードに書かれた数を $d$ とする． $a+b\lt c+d \leqq N$ の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを， $a$ の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

(1) 甲が $2$ 回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を $a$ を用いて表せ．

(2) 甲が $2$ 回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を $a$ を用いて表せ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．

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ブラックジャック様のゲームのモデル化ということで当時話題になった．甲が勝つためには乙が2枚カードを引かなければならないことがポイントとなる．

[解答]
(1) 甲が勝つ必要十分条件は， $c+d\leqq a$ または「 $c\leqq a$ かつ $c+d\geqq N+1$ 」となることである．

$c=k$ （ $k=1,2,…,a$ ）で固定すると
$1\leqq d\leqq a-k$ または $N+1-k\leqq d\leqq N$
となることで，これをみたす $d$ は $(a-k)+k=a$ 通りあり，これは $k$ にはよらない．

よって題意をみたす $(c,d)$ の組み合わせは $a^2$ 通りあることとなり，求める確率は $\dfrac{a^2}{N^2}$ となる．

(2) $a=1,…,N-1$ に対して $b$ は $1から[tex:N-a$ までの可能性があり，そのそれぞれに対して甲が勝つ場合の数は $(a+b)^2$ となる．

よって，甲が勝つ場合の数は $a+b=m$ とおくと
$\displaystyle\sum_{b=1}^{N-a} (a+b)^2$ $=\displaystyle\sum_{m=a+1}^{N} m^2$ $=\dfrac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6}$
となるので，求める確率は
$\dfrac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3}$
となる．