2010年(平成12年)大阪大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[3] $l,m,n$ を3以上の整数とする。等式 $\left(\dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{2}+1\right) l=2$ を満たす $l,m,n$ の組をすべて求めよ．

本問のテーマ

正多面体は5つ(2022.04.23)

2022.04.23記

正多面体は5つ

正多面体が5つに限ることは中学生のときに習うだろう．私が最初に知った証明は次のようなものである．

立体になるためには頂点に3枚以上の面が必要であるから，1頂点には「正3角形が3,4,5枚」，「正4角形が3枚」，「正5角形が3枚」の5通りしかありえず，その5通りでそれぞれ正多面体を構成することができるので，正多面体は5つに限る

というものである．これら正多面体に対して，辺，面，頂点の数も同時に求めるための方程式を作ってみよう．

正 $n$ 角形 $l$ 個からなる正多面体の各頂点に集まる正 $n$ 角形の個数を $m$ とします．また，正多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれ $V$ ， $E$ ， $F$ とすると， $F=l$ が成立する．

次に1つの辺が2つの面の境界であることから，正 $n$ 角形 $l$ 個の延べの辺の数 $nl$ を2 で割ったものが $E$ となる，つまり $E =\dfrac{nl}{2}$ が成立する．

そして1 つの頂点に $m$ 個の正 $n$ 角形が集まることから，正 $n$ 角形 $l$ 個の延べの頂点の数 $nl$ を $m$ で割ったものが $V$ となる，つまり $V =\dfrac{nl}{m}$ が成立する．

よってオイラー多面体定理から，
$V-E+F=\dfrac{nl}{m}-\dfrac{nl}{2}+l=2$
が成立する．これが問題文の等式である．

[大人の解答]
この等式は，正 $n$ 角形 $l$ 個からなる正多面体の各頂点に集まる正 $n$ 角形の個数を $m$ としたときの正多面体がみたすオイラー多面体の公式であるから，
$(m,n)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)$
であり，等式から $l$ を求めることにより
$(l,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3)$
となる．

まぁ、普通は

[解答]
等式の左辺が正であることから $\dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{2}+1\gt 0$ となるので，
$(m-2)(n-2)\lt 4$
が成立し， $m,n\geqq 3$ から
$(m,n)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)$
が必要である．等式から $l$ を求めることにより
$(l,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3)$
となる．

とするだけなので，答案としては大して有利になったようには見えないが，答が始めからわかっていて解くのと知らなくて解くのでは，やはり答を知っていて解く方が精神的には安心できる．