2015年(平成27年)大阪大学前期-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.07.26記

[1] 実数 $x$ ， $y$ が $|x|\leqq 1$ と $|y|\leqq 1$ を満たすとき，不等式
$0\leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\leqq 1$
が成り立つことを示せ．

2023.07.26記

[解答]
実数 $x$ ， $y$ が $|x|\leqq 1$ と $|y|\leqq 1$ を満たすので
$x=\cos\alpha$ ， $y=\cos\beta$ （ $0\leqq \alpha$ ， $\beta\leqq\pi$ ）
とおくことができる．このとき
$x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$
$=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta$
$=\cos^2\alpha-\cos^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\beta-\cos^2\alpha\cos^2\beta+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta$
$=\cos^2\alpha\sin^2\beta+\sin^2\alpha\cos^2\beta+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta$
$=(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)^2$
$=\sin^2(\alpha+\beta)$
であるから，題意は成立する．

2023.12.15記
色々なところにあるが，加法定理の図形的証明の
加法定理
とか
加法定理を図で示す
の

と組合せると

何でも図形的にできると思ったら大間違いですからね！！！！！ https://t.co/ZzxuFNhUNt pic.twitter.com/9KI8Vod8Xr
— SSS Education｜東大理３の教育集団 (@sss_education_) 2023年12月11日

のようになる。