[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[5]

$p$ が素数ならば $p^4+14$ は素数でないことを示せ．

2021.03.10記
2でない素数は奇数だから， $p$ が2の倍数でない整数のとき， $p^4+14$ は……奇数となってうまくいかないので，次は「 $p$ が3の倍数でない整数のとき， $p^4+14$ は3の倍数になる…(☆)」が示せるかどうかを考える．

[解答]

$p=3$ のとき $p^4+14=95$ は素数でない．

それ以外の素数は3で割り切れないので mod 3 で $p\equiv \pm1$ となる．
よって $p^4+14\equiv (\pm 1)^4+14 =15\equiv 0$ だから $p^4+14\geqq 15$ は $3$ より大きい3の倍数となり，素数でない．

2021.03.20記
(☆) は $p^4+14=p^4-1+15=(p^2+1)(p+1)(p-1)+15$ と変形してもわかる．

なお，3の倍数でない平方数を3で割った余りは1であることを利用して
$p^4+14=(p^2+2)(p^2+7)-9p^2$ や $p^4+14=(p^2+1)(p^2+14)-15p^2$ と変形しても(☆)がわかる．