[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[1]

2022.02.27記

[1] 5.4 \lt \log_4 2022 \lt 5. 5 であることを示せ． ただし， 0.301 \lt \log_{10} 2 \lt 0. 3011 であることは用いてよい．

2022.02.27記
とりあえず 2000\lt 2022 \lt 2048 に気がつきたい。

[解答]
\log_4 2022 \lt \log_4 2048 = \log_4 4^{5.5}=5.5 である．

また，\dfrac{10}{33}=0.3030\cdots \gt \log_{10} 2 により
\log_4 2022 \gt \log_4 2000 = \dfrac{\log_{10} 2000}{\log_{10} 4}= \dfrac{3+\log_{10} 2}{2\log_{10} 2}
=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{\log_{10} 2}\right)\gt\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{10/33}\right)
=\dfrac{1}{2}(1+9.9)=5.45 である．

\dfrac{10}{33}=0.3030\cdots \gt \log_{10} 2 という評価は，\dfrac{3}{\log_{10} 2} がなるべく簡単になるような有理数を考えると，思いつくのはそれほど困難ではないだろう。