2022年(令和4年)九州大学前期-数学（III）[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.28記

[5] $xy$ 平面上の曲線 $C$ を，媒介変数 $t$ を用いて次のように定める。
$x=5\cos t+\cos 5t$ ， $y=5\sin t-\sin 5t$ （ $-\pi\leqq t\lt \pi$ ）

以下の問いに答えよ。

(1) 区間 $0\lt t\lt\dfrac{\pi}{6}$ において， $\dfrac{dx}{dt}\lt 0$ ， $\dfrac{dy}{dt}\lt 0$ であることを示せ。

(2) 曲線 $C$ の $0\leqq t\lt\dfrac{\pi}{6}$ の部分， $x$ 軸，直線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x$ で固まれた図形の面積を求めよ。

(3) 曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称であることを示せ。また， $C$ 上の点を原点を中心として反時計回りに $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転させた点は $C$ 上にあることを示せ。

(4）曲線 $C$ の概形を図示せよ。

2022.02.28記
ハイポサイクロイド

[解答]

(1) $\dfrac{dx}{dt}=-5\sin t-5\sin 5t$ $=-10\sin 3t\cos 2t$ は $0\lt t\lt\dfrac{\pi}{6}$ において
$0\lt 2t\lt\dfrac{\pi}{3}$ ， $0\lt 3t\lt\dfrac{\pi}{2}$ から $\sin 3t\gt 0$ ， $\cos 2t\gt 0$ となるので $\dfrac{dx}{dt}\lt 0$ である．

また， $\dfrac{dy}{dt}=5\cos t-5\cos 5t$ $=10\sin 3t\sin 2t$ は $0\lt t\lt\dfrac{\pi}{6}$ において
$0\lt 2t\lt\dfrac{\pi}{3}$ ， $0\lt 3t\lt\dfrac{\pi}{2}$ から $\sin 3t\gt 0$ ， $\sin 2t\gt 0$ となるので $\dfrac{dx}{dt}\lt 0$ である．

(2) (1) より $(x,y)$ は $0\leqq t\lt\dfrac{\pi}{6}$ において， $(6,0)$ から $(2\sqrt{3},2)$ まで単調に右上に移動する．
ガウスグリーンの定理により，
$S=\displaystyle\int_0^{\pi/6} \dfrac{1}{2}(xy'-yx')dt$
$S=\dfrac{5}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/6} \{(5\cos t+\cos 5t)(\cos t-\cos 5t)$ $+(5\sin t-\sin 5t)(\sin t+\sin 5t)\} dt$
$=10\displaystyle\int_0^{\pi/6} (1-\cos5t\cos t+\sin5t\sin t)dt$ $=10\displaystyle\int_0^{\pi/6} (1-\cos6t)dt$ $=10\Bigl[ t-\dfrac{\sin 6t}{6}\Bigr]_0^{\pi/6}$ $=\dfrac{5\pi}{3}$

(3) 任意の $t_1$ ( $-\pi\leqq t\lt 0$ )に対して
$t=t_1$ ， $-t_1$ なる点の座標は
$\cos(-t_1)=\cos t_1$ ， $\sin(-t_1)=-\sin t_1$ ， $\cos(-5t_1)=\cos 5t_1$ ， $\sin(-5t_1)=-\sin 5t_1$
により，
$(5\cos t_1+\cos 5t_1,5\sin t_1-\sin 5t_1)$ ， $(5\cos t_1+\cos 5t_1,-5\sin t_1+\sin 5t_1)$ となり $x$ 軸について対称の位置にあるから， $C$ は $x$ 軸に関して対称である．

複素平面で考えると， $p=\cos t+i \sin t$ を用いて
$x+yi=5p+\dfrac{1}{p^5}$
と表すことができる．

$C$ を $\dfrac{\pi}{3}$ 回転した図形は $\alpha=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ を用いて
$\alpha(x+yi)$ となるが， $\alpha^6=1$ に注意すると
$\alpha(x+yi)=5\alpha p+\alpha\dfrac{1}{p^5}$ $=5\alpha p +\dfrac{1}{(\alpha p)^5}$
となり， $\alpha p=\cos\left(t+\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(t+\dfrac{\pi}{3}\right)$
となるから， $C$ 上の点を $\dfrac{\pi}{3}$ 回転した点はやはり $C$ 上にある．

(4) (3) より曲線 $C$ の $0\leqq t\lt\dfrac{\pi}{6}$ の部分を $x$ 軸に折り返した部分と、曲線 $C$ の $0\leqq t\lt\dfrac{\pi}{6}$ の部分をあわせてできる図形を6回くり返せば良い．

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ハイポサイクロイドと円周で挟まれる部分の面積には公式

$\mbox{（内転円の中心の移動距離）}\times\mbox{（内転円の半径）}+\mbox{（内転円の面積）}$

がある．答の確認用に使えるけどそれにしか使えない公式。

[大人の解答]
(2) 円周とハイポサイクロイドで囲まれる6つの部分の面積1つ分は，公式から
$\dfrac{5\pi}{3}\times 1 +\pi=\dfrac{8\pi}{3}$
である．よって求める面積は
$\dfrac{1}{12}\left(6^2\pi - 6\times \dfrac{8\pi}{3}\right)$ $=\dfrac{5\pi}{3}$

複雑な計算は答を知ってから計算した方が気持が楽になるだろう。