[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[1]

2023.11.23記

[1] 次の各問に答えよ．

問1 定積分 \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \log (x^2) dx の値を求めよ．

問2 整式 x^{2023}-1 を整式 x^4+x^3+x^2+x+1 で割ったときの余りを求めよ．

2023.11.23記

[解答]
問1 t^2=x と置換すると 2tdt=dx であり，
I=\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \log (x^2) dx
=\displaystyle \int_1^2 8t^2 \log t dt
となる．さらに t=e^u と置換すると dt=e^u du で
I=\displaystyle \int_0^{\log 2} 8 u e^{3u} du
=8\left[ \left(\dfrac{u}{3}-\dfrac{1}{9}\right)e^{3u} \right]_0^{\log 2}
=8\left\{ \left(\dfrac{\log 2}{3}-\dfrac{1}{9}\right)\cdot 8 +\dfrac{1}{9}\right\}
=\dfrac{8(24\log 2-7)}{9}

問2 x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) に注意すると，
x^{2023}-1=(x^5-1)(x^{2018}+x^{2013}+\cdots+x^8+x^3)+x^3-1
であるから，求める余りは x^3-1