2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[5] 整式 $f(x)={(x-1)}^2(x-2)$ を考える．

(1) $g(x)$ を実数を係数とする整式とし， $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく． ${g(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りと ${r(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ．

(2) $a$ ， $b$ を実数とし， $h(x)=x^2+ax+b$ とおく． ${h(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_1(x)$ とおき， ${h_1(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_2(x)$ とおく． $h_2(x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a$ ， $b$ の組をすべて求めよ．

2023.11.23記
2022年(令和4年)九州大学前期-数学（III）[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
でも説明したが，
整式 $f(x)$ を $(x-\alpha)(x-\beta)^2$ で割った余りは
$\left\{\dfrac{f'(\beta)}{\beta-\alpha}-\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{(\beta-\alpha)^2}\right\}(x-\beta)^2+f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)$
となる．

本問の場合，ここまで計算しなくても， $H(x)=\{h(x)\}^{49}-h(x)$ が $(x-2)(x-1)^2$ で割り切れれば良いので，
$H(2)=H(1)=H'(1)=0$
となるように $a，b$ を求めれば良い．

なお， $x-1=X$ とおくと $T(X)=\{h(X+1)\}^{49}-h(X+1)$ が $(X-1)X^2$ で割り切れれば良く，この条件から $T(X)$ の1次の項と定数項が0になると考えることもできる．

[解答]
(1) $g(x)=f(x)Q(x)+h(x)$ なる整式 $Q(x)$ が存在し，
$g(x)^7=f(x)\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^7 {}_7\mbox{C}_i f(x)^{i-1} Q(x)^i r(x)^{7-i}\right\}+r(x)^7$
であるから， $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りは等しい．

(2) (1)より $H(x)=h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)$ で割り切れれば良く，その必要十分条件は
$H(2)=H(1)=H'(1)=0$
である．
$H(1)=h(1)\{h(1)^{48}-1\}=0$
から $h(1)=-1,0,1$ であり，これと
$H'(1)=\{49h(1)^{48}-1\}h'(1)=0$
から $h'(1)=0$ となる．よって $a=-2$ であり $h(x)=x^2-2x+b$ となり， $h(1)=-1,0,1$ から $b=0,1,2$ となる．

これら $b$ のうち
$H(2)=h(2)\{h(2)^{48}-1\}=0$
をみたすのは， $b=0,1$ だから，求める答は $(a,b)=(-2,0)，(-2,1)$ となる．

[別解]
(2) $X=x-1$ とおき， $h(x)=t(X)=X^2+pX+q$ ， $T(X)=h(x)^{49}-h(x)=t(X)^{49}-t(X)$ とおくと，多項定理より
$T(X)=X^2\cdot S(X) + 49pq^{48}X+q^{49}$
となる整式 $S(X)$ が存在する．ここで $T(X)$ は $X^2(X-1)$ で割り切れるので
$49pq^{48}=p$ ， $q^{49}=q$
が必要で，後者から $q=-1,0,1$ となり，これらいずれの場合も前者から $p=0$ となる．

このとき， $T(1)=t(1)^{49}-t(1)=(1+q)\{(1+q)^{48}-1\}=0$ をみたすのは $q=-1,0$ であるから $(p,q)=(0,0)，(0,-1)$ であり，これらから
$t(X)=X^2，X^2-1$ ，つまり $h(x)=(x-1)^2，(x-1)^2-1$ となるので， $(a,b)=(-2,0)，(-2,1)$ となる．