2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.26記

[2] 平面上の3点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が $|2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}|=1$ かつ $(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})\cdot(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})=\dfrac{1}{3}$ をみたすとする．

(1) $(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})\cdot(\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}})$ を求めよ．

(2)平面上の点 $\mbox{P}$ が $|\overrightarrow{\mbox{OP}}-(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})|\leqq\dfrac{1}{3}$ かつ $\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})\leqq\dfrac{1}{3}$ をみたすように動くとき， $|\overrightarrow{\mbox{OP}}|$ の最大値と最小値を求めよ．

2023.11.26記
こんなに $\dfrac{1}{3}$ があると3倍したくなる．すると $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}$ が $3(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})$ に見えてきて，
$(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})$ $+(\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}})$ $=3(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})$
という関係式に気付く．

[解答]
(1) $\vec{a}=2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}$
とおくと
$|\vec{a}|=1$ ， $|\vec{b}|=1$ ，
$\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=1$ （問題文の式を3倍）
が成立するので，
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
となる．

(2) $\vec{p}=3\overrightarrow{\mbox{OP}}$ とおくと，
$|\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})|\leqq 1$ かつ $\vec{p}\cdot\vec{a}\leqq 1$
をみたすように平面上の点 $\mbox{P}$ が動く．

これを $\vec{a}$ 向きを $x$ 軸正の向き， $\vec{b}$ 向きを $y$ 軸正の向きとする正規直交座標系で考えると， $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$ としたときの $x,y$ の条件は
$(x-1)^2+(y-1)^2\leqq 1$ ， $x\leqq 1$
となる．よって $|\vec{p}|$ は $(x,y)=(1-1/\sqrt{2},1-1/\sqrt{2})$ で最小値 $\sqrt{2}-1$ ， $(x,y)=(1,2)$ で最大値 $\sqrt{5}$ をとる．よって $|\overrightarrow{\mbox{OP}}|=\dfrac{1}{3}|\vec{p}|$ の最小値は $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$ ，最大値は $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ となる．