2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.23記

[5] $\mbox{O}$ を原点とする $xyz$ 空間において，点 $\mbox{P}$ と点 $\mbox{Q}$ は次の3つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている．

(a) 点 $\mbox{P}$ は $x$ 軸上にある．

(b) 点 $\mbox{Q}$ は $yz$ 平面上にある．

点 $\mbox{P}$ と点 $\mbox{Q}$ が条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき，線分 $\mbox{PQ}$ が通過してできる立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

ベータ関数（無理矢理だが）

2023.11.23記

[解答]
$x$ 軸に対する回転対称性により， $\mbox{Q}$ が $y$ 軸上にあるときの線分 $\mbox{PQ}$ の通過範囲 $D$ を $x$ 軸について回転させてできる立体の体積を求めれば良い．

$D$ は $x$ 軸， $y$ 軸について線対称であるから， $D$ の $x\geqq0$ ， $y\geqq 0$ をみたす範囲を求めることにする．このとき， $xy$ 平面において $\mbox{P}(t,0)$ ， $\mbox{Q}(0,1-t)$ （ $0\leqq t\leqq 1$ ）とおくことができ，このとき直線 $\mbox{PQ}$ の方程式は
$\dfrac{x}{t}+\dfrac{y}{1-t}=1$
つまり
$y=\left(1-\dfrac{1}{t}\right)x+(1-t)$
となる．ここで $x$ （ $0\leqq x\leqq 1$ ）を固定したときの
$f(t)=\left(1-\dfrac{1}{t}\right)x+(1-t)$ の $0\leqq t\leqq 1$ における値域は
$f'(t)=\dfrac{1}{t^2}x-1=\dfrac{x-t^2}{t^2}$
と増減表から， $t=\sqrt{x}$ にて最大値 $(\sqrt{x}-1)^2$ をとる．

よって求める体積は
$2 \displaystyle\int_0^1 2\pi x (\sqrt{x}-1)^2 dx$ $=4\pi \displaystyle\int_0^1 (x^2-2x^{3/2}+x) dx$ $=4\pi \Bigl[\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{4}{5}x^{5/2}+\dfrac{1}{2}x^2\Bigr]_0^1$ $=4\pi \Bigl(\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}\Bigr)$ $=\dfrac{2}{15}\pi$
となる．

知っていればこうなる，という身も蓋もない解答をしておく．

[大人の解答]
$\mbox{Q}$ が $y$ 軸にあるとき，その包絡線の方程式は第一象限で放物線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ となることが知られており，この曲線は $(x,y)=(\cos^4\theta,\sin^4\theta)$ （ $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）とパラメータ表示できるので，求める体積は
$2\displaystyle\int_{\pi/2}^0 2\pi x(\theta) y(\theta) \dfrac{dx}{d\theta}\cdot d\theta$ $=16\pi\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^7\theta \sin^5\theta d\theta$ $=16\pi\cdot \dfrac{1}{2} \cdot B(4,3)$ $=16\pi\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\Gamma(4)\Gamma(3)}{\Gamma(7)}$ $=16\pi\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3!2!}{6!}$ $=\dfrac{2}{15}\pi$
となる．