2023年(令和5年)大阪大学-数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.27記

[2] 正の実数 $a$ ， $x$ に対して，
$y={(\log_{\frac{1}{2}}x)}^3+a(\log_{\sqrt2}x)(\log_4x^3)$
とする．

(1) $t=\log_2x$ とするとき， $y$ を $a$ ， $t$ を用いて表せ．

(2) $x$ が $\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 8$ の範囲を動くとき， $y$ の最大値 $M$ を $a$ を用いて表せ．

2023.11.27記
$\log_{a^m} b^m=\log_a b$ は基本．

最大・最小の候補は端点または極値

[解答]
(1) $y={(\log_{\frac{1}{2}}x)}^3+a(\log_{\sqrt2}x)(\log_4x^3)$ $={(\log_{2}x^{-1})}^3+a(\log_{2}x^2)(\log_2x^{3/2})$ $=-t^3+a(2t)\left(\dfrac{3}{2}t\right)$ $=-t^3+3at^2$

(2) $x$ が $\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 8$ の範囲を動くとき， $-1\leqq t\leqq 3$ である．
$f(t)=-t^3+3at^2$ とおくと
$f'(t)=-3t^2+6at=-3t(t-2a)$ により $x=0,2a$ で $f'(t)=0$ となる．

よって
$M=\max\{f(-1)，f(0)，f(3)，f(2a)\}$
（但し $f(a)$ は $-1\leqq 2a\leqq 3$ の場合のみ）
となる．
$f(-1)=1+3a$ ， $f(0)=0$ ， $f(3)=27a-27$ ， $f(2a)=4a^3(-\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq \dfrac{3}{2})$
のグラフを描いて最大値を結ぶことにより，