2022年(令和4年)九州大学前期-数学（III）[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.27記

[1] 座標空間内の5点
${\rm O}(0, 0, 0),{\rm A}(1, 1, 0),{\rm B}(2, 1, 2), {\rm P}(4,0,-1),{\rm Q}(4, 0, 5)$
を考える。3点 $\rm O, A, B$ を通る平面を $\alpha$ とし， $\vec{a}=\vec{\rm OA}$ ， $\vec{b}=\vec{\rm OB}$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の両方に垂直であり， $z$ 成分が正であるような，大きさが1のベクトル $\vec{n}$ を求めよ。

(2) 平面 $\alpha$ に関して点 $\rm P$ と対称な点 ${\rm P}'$ の座擦を求めよ。

(3) 点 $\rm R$ が平面 $\alpha$ 上を動くとき， $|\vec{\rm PR}|+\vec{\rm RQ}|$ が最小となるような点 $\rm R$ の座標を求めよ。

2022.02.27記
$\vec{n}$ は外積を使って求めるのが大人の解答だが，外積をとるベクトルに成分「0」が含まれているのなら，以下のように求める方が間違いにくいように思う。

[解答]
(1) $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に垂直なベクトルは $\vec{a}=\begin{pmatrix} s \\ -s \\ t \end{pmatrix}$ の形にかくことができ，これが $\vec{b}$ に垂直であることから
$s+2t=0$ となる．つまり求めるベクトルは
$\vec{a}=\begin{pmatrix} -2t \\ 2t \\ t \end{pmatrix}$
の形をしている．このうち， $z$ 成分が正であるような，大きさが1のベクトルを求めると
$\vec{n}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
となる．

(2) $\rm P$ から $\alpha$ へ下した垂線の足を $\rm H$ とすると
$\vec{\rm HP}$ は $\vec{\rm OH}$ を $\vec{n}$ に正射影した正射影ベクトルであるから，
$\vec{\rm HP}=(\vec{\rm OP}\cdot\vec{n})\vec{n}$ $=-3\vec{n}$
となる．よって
$\vec{{\rm OP}'}=\vec{\rm OP}+2\vec{\rm PH}$ $=\vec{\rm OP}+6\vec{n}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$
となり， ${\rm P}'(0,4,1)$ となる．

(3) $\vec{\rm OP}\cdot\vec{n}=3$ ， $\vec{\rm OQ}\cdot\vec{n}=1$ と同符号なので，
$\rm P,Q$ は $\alpha$ に関して同じ側にある．よって $|\vec{\rm PR}|+\vec{\rm RQ}|$ が最小となるような点 $\rm R$ は直線 ${\rm P}'{\rm Q}$ と $\alpha$ の交点である．

よって，ある実数 $t$ を用いて
$\vec{\rm OR}=(1-t)\vec{{\rm OP}'}+t \vec{\rm OQ}$
とかける．

$\rm R$ は $\alpha$ 上なので $\vec{\rm OR}\cdot\vec{n}=0$ をみたすので， $\vec{{\rm OP}'}\cdot\vec{n}=-\vec{\rm OP}\cdot\vec{n}=-3$ ， $\vec{\rm OQ}\cdot\vec{n}=1$ から
$0=(-3)\cdot (1-t)+1\cdot t$
となり， $t=\dfrac{3}{4}$ となる．