2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.24記

[1] $n$ を2以上の自然数とする．

(1) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
$\dfrac{1}{2}x^n \leqq {(-1)}^n \left\{ \dfrac{1}{x+1}-1- \displaystyle\sum_{k=2}^n {(-x)}^{k-1} \right\} \leqq x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$
(2) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{{(-1)}^{k-1}}{k}$ とするとき，次の極限値を求めよ．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{(-1)}^nn(a_n-\log2)$

本問のテーマ

メルカトル級数
交代調和級数

2023.11.24記
$\displaystyle\sum_{k=2}^n {(-x)}^{k-1}$ と $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{{(-1)}^{k-1}}{k}$ があれば，前者を0から1まで積分しろということに気付くだろう．

メルカトル級数 $\log(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$ は $-1\lt x\leqq 1$ で収束し， $\log 2=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ が成立する．これは交代調和級数と呼ばれる．

本問の結果から $|a_n-\log 2| \approx \dfrac{1}{2n}$ が得られる．つまり，交代調和級数の収束の速さ（誤差の減り方）は $\dfrac{1}{2n}$ であることがわかる．

[解答]
(1) $\displaystyle\sum_{k=2}^n {(-x)}^{k-1}$ $=\dfrac{-x-(-x)^n}{1+x}$
であるから，
${(-1)}^n \left\{ \dfrac{1}{x+1}-1-\displaystyle\sum_{k=2}^n {(-x)}^{k-1}\right\}$ $=\dfrac{x^n}{1+x}$
となる．よって
$\dfrac{1}{2}x^n \leqq \dfrac{x^n}{1+x} \leqq x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$
を示せば良い． $x=0$ のとき $0=0=0$ となって成立するので，

$0\lt x\leqq 1$ のとき
$\dfrac{1}{2} \leqq \dfrac{1}{1+x} \leqq 1-\dfrac{1}{2}x$
を示せば良く，式に $1+x\gt 0$ を掛けた後に $1$ を引くことにより，
$\dfrac{x-1}{2} \leqq 0 \leqq \dfrac{x(1-x)}{2}$
を示せば良いが， $0\lt x\leqq 1$ のときに左辺は負，右辺は正であるから成立する．

(2) $a_1=1$ に注意して(1)の不等式を 0 から1まで積分することにより，
$\dfrac{1}{2(n+1)}\leqq {(-1)}^n (\log 2-a_n) \leqq \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{2(n+2)}$
となり，
$\dfrac{-1}{2(1+1/n)}\geqq {(-1)}^n n(a_n-\log 2) \geqq \dfrac{-1}{1+1/n}+\dfrac{1}{2(1+2/n)}$
が成立する．

$n\to\infty$ で
$\dfrac{-1}{2(1+1/n)}\to-\dfrac{1}{2}$ ，
$\dfrac{-1}{1+1/n}+\dfrac{1}{2(1+2/n)}\to -1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
であるから，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{(-1)}^nn(a_n-\log2)=-\dfrac{1}{2}$

不等式を積分をすると，今回は等号が外れるが，極限をとるので気にする必要はない．

2019年(平成31年)埼玉大学前期-数学(理(数学)工学部)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2006年(平成18年)芝浦工業大学-数学[x] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

に交代調和級数の出題がある．