2023.07.26記
[2] 数列をで定める.
このとき であることを,以下の手順で示せ.
このとき であることを,以下の手順で示せ.
(1) 数列を で定める. のとき
()
であることを用いて, であることを示せ.
(2) すべての自然数 に対して
が成り立つことを示せ.
(3) であることを示せ.
(4) であることを示せ.
2023.07.26記
本問のテーマ
Wallis 積分
Stirling の公式(Stirling の近似)
Stirling の公式(Stirling の近似)
スターリングの公式,つまり が大きいときに
(「」は で比が1に近づくこと)
が成立することの典型的な証明.ただ(3) の「100」は非常に粗く設定しており,色々な方法で対応できるようにとの配慮だと思われるが「100」にこだわると却って難しくなってしまうだろう.
以下、有名な証明方法に倣って解答する.
[解答]
(1) とおくと与えられた不等式により
である.ここでウォリス積分より
,
,
だから
が成立する.整理して
となるので,はさみうちの原理から
となり, から
となる.
(1) とおくと与えられた不等式により
である.ここでウォリス積分より
,
,
だから
が成立する.整理して
となるので,はさみうちの原理から
となり, から
となる.
(2)
により,
であるから,
を示せば良く, であり, は下に凸だから
が成立するので,
が成立する.ここで
だから,題意は証明された.
(3) (2) より
だから,はさみうちの原理により
となり, である.
(4) により
()
である.