2024年(令和6年)九州大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.12.09記

[1] $xyz$ 空間内の点 $\rm A，B，C，D$ の座標をそれぞれ $(2，1，0)$ ， $(9，0，0)$ ， $(6，9，0)$ ， $(5，8，2\sqrt{2})$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) 点 $\rm A，B，C$ を通る円の半径を求めよ．

(2) (1) で求めた円の周上を移動する点を $\rm E$ とする．三角形 $\rm ABE$ の面積が $25$ となるときの点 $\rm E$ の座標を求めよ．ただし，点 $\rm E$ の $x$ 座標は $y$ 座標より大きいとする．

(3) 点 $\rm A，B，D$ および(2)で求めた点 $\rm E$ を通る球面上を移動する点を $\rm P$ とする．ただし点 $\rm P$ の $z$ 座標は正とする．四面体 $\rm ABEP$ の体積が最大となるときの体積 $V$ を求めよ．また，四面体 $\rm ABEP$ の体積が $\dfrac{3}{5}V$ を保つように点 $\rm P$ が移動したときの，点 $\rm P$ が描く図形の方程式を求めよ．

2024.10.04記
図を綺麗に書くことがここまで効く問題はそうそうありません． $xy$ 平面に $\mbox{A}(2，1)$ ， $\mbox{B}(9，0)$ ， $\mbox{C}(6，9)$ を丁寧に図示してみると

$\rm AC$ の垂直2等分線上に格子点が $(4，5)$ ， $(6，4)$ ， $(8，3)$ ，… と並びますが， $(6，4)$ にどれだけ中心が近いかと計算してみると，ドンピシャで，中心が $(6，4)$ で $3:4:5$ の直角三角形によって作られた構図であることが見えてきます．

(2) 半径5（直径10）の円に内接する三角形の面積が 25 になるというのはとても恣意的で，円の直径を斜辺とする直角二等辺三角形の面積が 25 であるという構図が見えてきます．

[出題者を見透かした解答]
(1) $xy$ 平面で考える．

$\mbox{A}(2，1)=(6-4，4-3)$ ， $\mbox{B}(9，0)=(6+3，4-4)$ ， $\mbox{C}(6，9)=(6，4+5)$
であるから，この3点は中心 $(6，4)$ ，半径 $5$ の円周上にあるので，求める半径は $5$ である．

(2) $xy$ 平面で考える．

円の中心を $\mbox{G}(6，4)$ とし，点 $\rm A$ を通る直径の $\rm A$ とは異なる端点を $\mbox{F}(10，7)$ とする．
$\angle\mbox{AGB}=\dfrac{\pi}{2}$ に注意すると
$\triangle\mbox{ABF}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 5= 25=\triangle\mbox{ABE}$
であるから，点 $\rm E$ と直線 $\rm AB$ との距離は点 $\rm F$ と直線 $\rm AB$ との距離 $5\sqrt{2}$ （ $\triangle\mbox{ABF}$ は斜辺が10の直角二等辺三角形）に等しい．

この距離 $5\sqrt{2}$ は円の半径 $5$ よりも大きいことから，このような $\rm E$ は直線 $\rm AB$ に関して $\rm F$ と反対側には存在せず，よって同じ側に存在することになり， $\rm EF\parallel AB$ となる．このとき $\mbox{E}(10，7)$ （ $\mbox{F}$ に一致），または $\mbox{E}$ は点 $\rm B$ を通る直径の $\rm B$ とは異なる端点を $(3，8)$ のいずれかであり，条件を満たすのは $\mbox{E}(10，7)$ である．

(3) 四面体 $\rm ABEP$ の体積は $\dfrac{1}{3}\times\triangle\mbox{ABE}\times(\mbox{P}からxy平面に下した垂線の長さ)$ である．

$\rm A，B，E$ を通る球面の方程式は(1) より
$(x-6)^2+(y-4)^2+(z-t)^2=25+t^2$
と書け，これが $\rm D$ を通るので $17+8-4\sqrt{2}t=25+t^2$ から $t=0$ となる．

よって球面上の点から $xy$ 平面へ下した垂線の長さが最大となる点 $\rm P$ はその $z$ 座標が正であるから
$\mbox{P}(6，4，5)$ であり，このときの四面体 $\rm ABEP$ の体積は
$V=\dfrac{1}{3}\times 25\times 5 =\dfrac{125}{3}$ である．

また，四面体 $\rm ABEP$ の体積が $\dfrac{3}{5}V$ となるのは $\rm P$ の $z$ 座標が $3$ となれば良いので
$(x-6)^2+(y-4)^2+3^2=25$ ，
つまり
$(x-6)^2+(y-4)^2+3^2=16$ かつ $z=3$ （円周）
となる．

普通は円のパラメータ表示を利用して $\rm E$ を表現して次のように解くだろう．

[別解]
(1) $xy$ 平面で考える．

円の中心を $(a，b)$ とすると
$(a-2)^2+(b-1)^2=(a-9)^2+b^2=(a-6)^2+(b-9)^2$
が成立する．よって
$(a-2)^2-(a-9)^2=b^2-(b-1)^2$ ， $(a-6)^2-(a-9)^2=b^2-(b-9)^2$ ，
つまり
$(2a-11)\cdot 7 =(2b-1)\cdot 1$ ， $(2a-15)\cdot 3 =(2b-9)\cdot 9$ ，
が成立する．整理して
$7a-38=b$ ， $a+6=3b$
となり， $a=6$ ， $b=4$ となる．よって円の半径は $\sqrt{(9-6)^2+(0-4)^2}=5$ となる．

(2) $xy$ 平面で考える．

$\mbox{E}(6+5\cos\theta，4+5\sin\theta)$ とおく．
$\overrightarrow{\mbox{AB}}=(7，-1)$ ，
$\overrightarrow{\mbox{AE}}=(4+5\cos\theta，3+5\sin\theta)$ （ $\cos\theta\gt\sin\theta$ ）
から
$2\triangle\mbox{ABE}=|25+5\cos\theta+35\sin\theta|=50$
が成立するので $\cos\theta+7\sin\theta=5，-15$ となるが， $\cos\theta+7\sin\theta=-15$ にはなれないので
$\cos\theta+7\sin\theta=5$
となる．これを $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ に代入すると
$50\sin^2\theta-70\sin\theta+24=2(5\sin\theta-3)(5\sin\theta-4)=0$
から $\sin\theta=\dfrac{3}{5}，\dfrac{4}{5}$ となり
$(\cos\theta，\sin\theta)=\left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{3}{5}\right)，\left(-\dfrac{3}{5}，\dfrac{4}{5}\right)$
となる．

$\cos\theta\gt\sin\theta$ 　により $(\cos\theta，\sin\theta)=\left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{3}{5}\right)$ であるから $\mbox{E}(10，7)$ である．

基本的に同じ考え方だが次のように考えることもできる．

[別解]
(2) $xy$ 平面で考える．

直線 $\rm AB$ の方程式は $x+7y=9$ で $\mbox{AB}=5\sqrt{2}$ である． $\triangle\mbox{ABE}=25$ であるから $\mbox{E}(p，q)$ と直線 $\rm AB$ との距離も $5\sqrt{2}$ となり，
$\dfrac{|p+7q-9|}{5\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ ，
つまり $p+7q=-41，59$ となり， $(p-6)+7(q-4)=-75，25$ となるが，円の $x+7y=9$ に平行な接線は $(x-6)+7(y-4)=\pm 5\sqrt{2}(≒\pm 70.7\cdots)$ であることから，
$(p-6)+7(q-4)=-75$ は不適で $(p-6)+7(q-4)=25$ となる．

このとき $(p-6)^2+(q-4)^2=25$ とから
$50(q-4)^2-7\cdot 50(q-4)+25^2=25$ ，
つまり
$(q-4)^2-7(q-4)+12=(q-4-3)(q-4-4)=0$
となるので $q=7，8$ であり，
$(p，q)$ $=(10，7)，(3，8)$
となる．ここで $p\gt q$ であるから $\mbox{E}(10，7)$ である．