1988年(昭和63年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[4] $f(x)=x^3-x^2$ とする．曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mbox{A}(1,0)$ における接線が再びこの曲線と交わる点を $\mbox{B}$ とする．曲線 $y=ax^2+bx+c$ と曲線 $y=f(x)$ が点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を共有し，さらに $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ のあいだにもうひとつの共有点をもつとき，
この $2$ 曲線のかこむ部分の面積を求めよ．また，その面積が最小となるように $a$ ， $b$ ， $c$ を定めよ．

本問のテーマ

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

2021.01.22記
囲まれる部分の面積を求めずに最小となる $y=ax^2+bx+c$ を求めることができる．

[大人の解答]
$y=f(x)-(ax^2+bx+c)$ は $x^3$ の係数が $1$ で， $(\pm1,0)$ を通る．残りの $x$ 軸との交点を $k$ （ $-1\lt k\lt 1$ ）とする．

$g(x;k)=(x-1)(x+1)(x-k)$ とおき，その原始関数を $G(x;k)$ とすると， $\dfrac{\partial}{\partial k}g(x;k)=1-x^2$ が成立するので， $\dfrac{\partial}{\partial k}G(x;k)=x-\dfrac{x^3}{3}=:G_k(x;k)$ が成立する．

さて，囲まれる面積 $S(k)$ は
$S(k)=\displaystyle\int_{-1}^k g(x)dx + \int_{k}^1 \{-g(x)\}dx$ $=2G(k,k)-G(-1,k)-G(1,k)$
であるから，これを $k$ で微分すると
$S'(k)=2\{ g(k,k)+G_k(k,k)\}$ $-G_k(-1,k)-G_k(1,k)$ $=2\Bigl(k-\dfrac{k^3}{3}\Bigr)$
となるので， $-1\lt k\lt 1$ では $k=0$ のときに $S'(k)$ は負から正へと符号変化し，極小かつ最小となる．

よって $ax^2+bx+c$ $=f(x)-(x-1)(x+1)x=-x^2+x$ となる．

$S'(k)$ から $S(k)=k^2-\dfrac{k^4}{6}+C$ の形で $\dfrac{1}{12}$ 公式から $S(1)=\dfrac{16}{12}$ だから $C=\dfrac{1}{2}$ となり， $S(k)=k^2-\dfrac{k^4}{6}+\dfrac{1}{2}$ である．

$g(x;k)$ の定数項から $c=-k$ であるから，
$S(k)=c^2-\dfrac{c^4}{6}+\dfrac{1}{2}$ である．

2023.08.31記

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

ケプラーの樽公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
シンプソンの公式（ケプラーの樽公式） - 球面倶楽部零八式 mark II
3次関数と x 軸で囲まれる部分の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II

[大人の解答]
$\mbox{A}$ における接線の方程式を $y=l(x)$ とおくと，
$f(x)-l(x)=x^3-x^2-l(x)=(x-1)^2(x+1)$
と因数分解できるので， $\mbox{B}(-1,-2)$ である．

このとき $k=1+a$ とおくと
$f(x)-(ax^2+bx+c)$ $=x^3-(a+1)x^2-bx-c$ $=(x-1)(x+1)(x-k)$ $:=h(x)$
と因数分解できるので， $-1\lt k\lt 1$ であり，
かこむ部分の面積は，シンプソンの公式により
$\left|\dfrac{k+1}{6}\cdot 4g\left(\dfrac{k-1}{2}\right)\right|$ $+\left|\dfrac{1-k}{6}\cdot 4g\left(\dfrac{k+1}{2}\right)\right|$
$=\left|\dfrac{(k+1)(k-3)(k+1)(-k-1)}{12}\right|$ $+\left|\dfrac{(1-k)(k-1)(k+3)(-k+1)}{12}\right|$
$=\dfrac{(1+k)^3(3-k)+(1-k)^3(3+k)}{12}$
$=\dfrac{-k^4+6k^2+3}{6}:=S(k)$
となる． $t=k^2$ とおくと
$S(k)=\dfrac{-(t-3)^2+12}{6}$ （ $0\leqq t\lt 1$ ）
となるので， $t=0$ （ $k=0$ ）で最小となる．

よって $ax^2+bx+c$ $=f(x)-(x-1)(x+1)x=-x^2+x$ となる．