2022年(令和4年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.01記

[1] $r$ を正の実数とする．複素数平面上で，点 $z$ が点 $\dfrac{3}{2}$ を中心とする半径 $r$ の円周上を動くとき，
$z+w=zw$
を満たす点 $w$ が描く図形を求めよ．

2022.03.01記
1次分数変換の円円対応。

[解答]

$z=\dfrac{w}{w-1}$ を $\left|z-\dfrac{3}{2}\right|=r$ に代入して
$\left|\dfrac{w}{w-1}-\dfrac{3}{2}\right|=r$
となる．整理して $|2w-3(w-1)|=2r|w-1|$ ，つまり $|3-w|=2r|w-1|$ となる．

(i) $r=\dfrac{1}{2}$ のとき， $w$ は $3$ と $1$ からの距離の比が $1:1$ となる点の軌跡であるから，この2点の垂直2等分線，つまり直線 $\mbox{Re}(w)=2$ である．

(ii) $r\neq\dfrac{1}{2}$ のとき， $w$ は $3$ と $1$ からの距離の比が $2r:1$ となる点の軌跡であるから，アポロニウスの円であり，その直径は $3$ と $1$ を $2r:1$ に内分する点 $\dfrac{2r+3}{2r+1}$ と外分する点 $\dfrac{2r-3}{2r-1}$ である．よって円の中心はこの2つの分点の中点 $\dfrac{4r^2-3}{4r^2-1}$ を中心とし，直径の半分 $\dfrac{4r}{|4r^2-1|}$ を半径とする円である．

もちろん， $|3-w|=2r|w-1|$ から
$w\bar{w}-3(w+\bar{w})+9=4r^2 \{w\bar{w}-(w+\bar{w})+1\}$
を経て
$(4r^2-1)w\bar{w}-(4r^2-3)(w+\bar{w})+4r^2-9=0$
を得るので，

(i) $r=\dfrac{1}{2}$ のとき，
$2(w+\bar{w})-8=0$ から直線 $\mbox{Re}(w)=2$

(ii) $r\neq\dfrac{1}{2}$ のとき，
$w\bar{w}-\dfrac{4r^2-3}{4r^2-1}(w+\bar{w})+\dfrac{(4r^2-3)^2}{(4r^2-1)^2}$ $=\dfrac{(4r^2-3)^2}{(4r^2-1)^2}-\dfrac{4r^2-9}{4r^2-1}$ $=\dfrac{(16r^4-24r^2+9)-(16r^4-40r^2+9)}{(4r^2-1)^2}$ $=\dfrac{(4r)^2}{(4r^2-1)^2}$
から円 $\left|w-\dfrac{4r^2-3}{4r^2-1}\right|=\left|\dfrac{4r}{4r^2-1}\right|$

となる，としても良い．