1924年(大正13年)東京帝國大學工學部數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 三角形の底邊の長さ $a$ と，他の二辺の長さの和 $d$ とを與へてこれに内切する圓の中心の軌跡を求む．

本問のテーマ

楕円上の点の焦点からの距離
内心の位置ベクトル

2022.08.08記

楕円上の点の焦点からの距離

横長の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 ${\rm P}(x,y)$ について，焦点を ${\rm F}(c,0)$ ， ${\rm F}'(-c,0)$ とすると
${\rm FP}+{\rm F}'{\rm P}=2a$ ， ${\rm FP}^2-{\rm F}'{\rm P}^2=-4cx$
から
${\rm FP}-{\rm F}'{\rm P}=-2\dfrac{c}{a}x$
を経由して
${\rm FP}=a-\dfrac{c}{a}x$ ， ${\rm F}'{\rm P}=a+\dfrac{c}{a}x$
となる．

内心の位置ベクトル

${\rm A}(\vec{a})$ ， ${\rm B}(\vec{b})$ ， ${\rm C}(\vec{c})$ ， ${\rm AB}=c$ ， ${\rm BC}=a$ ， ${\rm CA}=b$ である三角形 $\rm ABC$ の内心を $\rm I$ とすると
$\vec{\rm OI}=\dfrac{a\vec{a}+b\vec{b}+c\vec{c}}{a+b+c}$
となる．

[解答]
$a=2A$ ， $d=2D$ とし， $B=\sqrt{D^2-A^2}$ とする．

三角形の底辺を ${\rm B}(-A,0)$ ， ${\rm C}(A,0)$ ，
と固定すると，残りの頂点の座標 ${\rm A}(x,y)$ は $\dfrac{x^2}{D^2}+\dfrac{y^2}{B^2}=1$ 上にあるので，
${\rm A}=(D\cos\theta,B\sin\theta)$
とパラメータ表示することができる．このとき，
${\rm AB}=D+A\cos\theta$ ， ${\rm AC}=D-A\cos\theta$
であるから，三角形 $\rm ABC$ の内心を ${\rm I}(X,Y)$ の位置ベクトルは
$\vec{\rm OI}=\dfrac{1}{2A+2D}\left(2AD\cos\theta+2A^2\cos\theta,2AB\sin\theta\right)$
$\vec{\rm OI}=\dfrac{A}{A+D}\left((A+D)\cos\theta,B\sin\theta\right)$
となるので，
内心の軌跡は楕円
$\dfrac{X^2}{A^2}+\dfrac{Y^2}{\dfrac{A^2B^2}{(A+D)^2}}=1$ ，
つまり
$\dfrac{X^2}{a^2}+\dfrac{Y^2}{\dfrac{a^2(d^2-a^2)}{(a+d)^2}}=4$
となる．

この楕円は ${\rm B}(-A,0)$ ， ${\rm C}(A,0)$ を通る．