1924年(大正13年)東京帝國大學工學部數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 圖の如く縦 $6$ 條横 $5$ 條の道路によりて正方形に區劃せられたる市街あり．

(イ) 迂廻することなしに $\mbox{A}$ 隅より $\mbox{B}$ 隅に至る仕方幾通り有りや．

(ロ) 甲乙兩人同時に $\mbox{A}$ 及び $\mbox{B}$ 隅を發し迂廻することなしに，夫々 $\mbox{B}$ 及び $\mbox{A}$ 隅に至らんとする時，途中に於て兩人が出會すべき確率（Probability）を求む．但し甲は乙の二倍の速さにて進むものとす．

2022.08.08記
(イ) の場合の数のそれぞれが等確率で起きないことに注意．ここでは進む方向が2つある場合は確率 $\dfrac{1}{2}$ で進む方向を選び，進む方向が1つの場合は確率1で進む方向を選ぶものとする．

[解答]
(イ) ${}_{9}\mbox{C}_4=126$ 通り

(ロ) 進む方向が2つある場合は確率 $\dfrac{1}{2}$ で進む方向を選び，進む方向が1つの場合は確率1で進む方向を選ぶものとする．

${\rm A}(0,0)$ ， ${\rm B}(5,4)$ のように座標を設定すると，出会う場所は
$(2,4)$ ， $(3,3)$ ， $(4,2)$ ， $(5,1)$
であり，甲は6，乙は3進む．
$(2,4)$ で出会う確率は $\dfrac{1+6+15}{64}\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{22}{2^9}$ ，
$(3,3)$ で出会う確率は $\dfrac{20}{64}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{60}{2^9}$ ，
$(4,2)$ で出会う確率は $\dfrac{15}{64}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{45}{2^9}$ ，
$(5,1)$ で出会う確率は $\dfrac{6+1}{64}\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{2^9}$
であるから，求める確率は $\dfrac{134}{2^9}=\dfrac{67}{256}$

当時の解答で
甲が $(2,4)$ ， $(3,3)$ ， $(4,2)$ ， $(5,1)$ それぞれに辿りつく場合の数が $15，20，15，6$ 通りであるから，それぞれに辿りつく確率は $\dfrac{15}{56}，\dfrac{20}{56}，\dfrac{15}{56}，\dfrac{6}{56}$ であるとして，
$\dfrac{15\times 1+20\times 3+15\times 3+6\times 1}{56\times 8}=\dfrac{9}{32}$
としているものがあったが，

辿りつく場合の数が $15，20，15，6$ 通りであるから，それぞれに辿りつく確率は $\dfrac{15}{56}，\dfrac{20}{56}，\dfrac{15}{56}，\dfrac{6}{56}$ である

というのは少し乱暴だろう．