1925年(大正14年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ガ常數ナルトキ $ay^2+2bxy+2cy+d=0$ ヨリ次ノ式ヲ導ケ．
$\left|\begin{array}{lll} 0 & y & y' \\ y' & 2y' & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{array}\right|=0$
但シ $y'$ ， $y''$ ， $y'''$ ハ夫々 $y$ ノ $x$ ニ關スル一次，二次，三次ノ微分係數ナリ．

2022.08.15記

[解答]
与えられた式を次々と微分すると
$ayy'+b(y+xy')+cy'=0$ ，
$a\{(y')^2+yy''\}+b(2y'+xy'')+cy''=0$ ，
$a\{3y'y''+yy'''\}+b(3y''+xy''')+cy'''=0$
が成立するので，
$\begin{pmatrix} yy' & y+xy' & y' \\ (y')^2+yy'' & 2y'+xy'' & y'' \\ 3y'y''+yy''' & 3y''+xy''' & y''' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
が成立する．ここで $a=b=c=0$ のとき， $ay^2+2bxy+2cy+d=0$ は $d=0$ となり，「空集合」か「 $xy$ 平面全体」を表すので問題として意味をなさなくなるので，
$a^2+b^2+c^2\neq 0$ として良く，このとき
$\mbox{det}\begin{pmatrix} yy' & y+xy' & y' \\ (y')^2+yy'' & 2y'+xy'' & y'' \\ 3y'y''+yy''' & 3y''+xy''' & y''' \end{pmatrix}=0$
が成立する．1列目から3列目の $y$ 倍を引き，2列目から3列目の $x$ 倍を引くと
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & y' \\ (y')^2 & 2y' & y'' \\ 3y'y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}$ $=y'\cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & y' \\ y' & 2y' & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}=0$
が成立する．

(i) $y'\neq 0$ のとき：
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & y' \\ y' & 2y' & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}=0$ が成立する．

(ii) $y'=0$ のとき：
$ayy'+b(y+xy')+cy'=0$ から $by=0$ となる．

(a) $y=0$ のとき：
$y=y'=0$ から
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & y' \\ y' & 2y' & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}$ $=0$
となる．

(b) $y\neq 0$ のとき：
$b=0$ でなければならず，このときもとの関数は $ay^2+2cy+d=0$ となり， $y$ は定数関数となるので，
$y'=y''=y'''=0$ が成立し，
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & y' \\ y' & 2y' & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $=0$
となる．

以上から全ての場合に対して
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & y & y' \\ y' & 2y' & y'' \\ 3y'' & 3y'' & y''' \end{pmatrix}$ $=0$
が示された．