1925年(大正14年)東京帝國大學工學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

[1] 空間ニ二直線アリ，ソノ一方ガ他ヲ軸トシテ廻轉ストキニ作ル面ノ方程式ヲ求メ，且ツ特別ノ場合ヲ吟味セヨ．

2022.08.14記
2つの直線が異なるとするとき，
(i) 平行なら直円柱面
(ii) 交わるなら直円錐面（但し垂直に交わるときは平面）
(iii) 捩れの位置なら一葉双曲面（但し方向ベクトルが垂直なときは平面）
になる．

[解答]
2直線は異なるものとする．

うまく座標軸をとることにより，
$z$ 軸のまわりに直線 $\dfrac{x-p}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ （ $a^2+b^2+c^2\neq 0$ ）を回転させるとして良い．ここで $a,b,c$ は0にもなり得るとする（例えば $b=0$ のときは $\dfrac{x-p}{a}=\dfrac{z}{c}$ かつ $y=0$ という直線を表す）．

回転させられる直線の点は $(x,y,z)=\left(p+\dfrac{a}{c}z,\dfrac{b}{c}z\right)$ であるから，求める曲面の方程式は
$x^2+y^2=\left(p+\dfrac{a}{c}z\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}z\right)^2$
つまり，
$c^2(x^2+y^2)=(a^2+b^2)z^2+2acpz+p^2c$
となる．

(i) $c=0$ のとき：
$(a^2+b^2)z^2=0$ であり， $a^2+b^2\neq 0$ より $z=0$ となり，平面である．

(ii) $c\neq 0$ かつ $a=b=0$ のとき：
2直線は平行であり，異なるので $p\neq 0$ である．このとき曲面の方程式は
$x^2+y^2=p^2$ となり，直円柱面である．

(iii) $c\neq 0$ かつ $a\neq0，b=0$ のとき：
曲面の方程式は $c^2(x^2+y^2)=a^2\left(z+\dfrac{cp}{a}\right)^2$ となり，直円錐面である．

(iv) $c\neq 0$ かつ $b\neq 0$ のとき：
$c^2(x^2+y^2)-(a^2+b^2)\left(z+\dfrac{acp}{a^2+b^2}\right)=\dfrac{\{(a^2+b^2)^2c - a^2c^2\}p^2}{(a^2+b^2)^2}$
となり，
(a) $p=0$ なら直円錐面 $c^2(x^2+y^2)-(a^2+b^2)z^2$
(b) $p\neq 0$ なら一葉双曲面である．