1974年(昭和49年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[4] 二つの関数 $f(x)$ ， $g(x)$ が次の性質 (1)，(2)，(3)，(4) を持つものとする．

(1) $f(x)$ ， $g(x)$ は $x=0$ において微分可能．

(2) $f(0)=g(0)=0$ ．

(3) 原点において， $y=f(x)$ および $y=g(x)$ のグラフに引いた接線はたがいに直交する．

(4) 実数 $a$ ， $b$ ， $c$ を適当に取ると，
$f'(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{ax+bf(x)}{cx+f(x)}$ ，
$g'(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{ax+bg(x)}{cx+g(x)}$ が成りたつ．

このとき， $a$ の値を求めよ．

2020.09.20記
線型変換の視点から眺めてみよう．

[大人の解答]
$\vec{f}(x)=(x,f(x))^{\top}$ ， $\vec{g}(x)=(x,g(x))^{\top}$ とすると2つの曲線は原点を通り原点で微分可能であり，原点における接線が直交するので $f'(0)g'(0)=-1$ となる．
$A=\begin{pmatrix} a& b\\c& 1\end{pmatrix}$ ， $K=\begin{pmatrix} b& a\\ 1& c\end{pmatrix}$ ， $\vec{f'}=(f'(0)，1)^{\top}$ ， $\vec{g'}=(g'(0)，1)^{\top}$ とおくと，

$\displaystyle \lim_{x\to 0} A\vec{f}(x) \parallel K\vec{f'}$ （正確には $\displaystyle \lim_{x\to 0} A\dfrac{\vec{f}(x)}{|\vec{f}(x)|} = K\dfrac{ \vec{f'} }{ |\vec{f'}|}$ ）が成立するので， $\vec{f'} \parallel K\vec{f'}$ が成立するように $a\sim c$ を選んでいる．よって， $\vec{f'}$ は $K$ の固有ベクトルである．

同様に $\vec{g'}$ も $K$ の固有ベクトルである． $f'(0)g'(0)=-1$ より $\vec{f'}，\vec{g'}$ は直交する．
よって $K$ の2つの固有ベクトルが互いに直交するので， $K$ は対称行列となり， $a=1$ となる．

$K$ の2つの固有ベクトルが互いに直交するので， $P=(\vec{f'}，\vec{g'})$ は直交行列となり， $K$ は直交行列を用いて対角化することができる．よって $K=P\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}P^{\top}$ は対称行列となる，ということ．

2023.08.11記

[解答]
$f'(0)=F$ ， $g'(0)=G$ とおくと，(1)，(2)，(4)により
$F=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{a+bf(x)/x}{c+f(x)/x}=\dfrac{a+bF}{c+F}$ ，
$G=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{a+bg(x)/x}{c+g(x)/x}=\dfrac{a+bG}{c+G}$
となる．ここで $c+F=0$ と仮定すると $a+bF=0$ が必要だから $a=bc$ となり，また $c+G=0$ と仮定すると $a+bG=0$ が必要だからやはり $a=bc$ となるが， $a=bc$ のとき，
$F=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{a+bf(x)/x}{c+f(x)/x}=b$ ，
$G=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{a+bg(x)/x}{c+g(x)/x}=b$ ，
つまり $f'(0)g'(0)=b^2$ となり，(3) の $f'(0)g'(0)=-1$ に矛盾する．

よって $c+F\neq 0$ ， $c+G\neq 0$ であり，
$F^2-(c-b)F-a=0$ ， $G^2-(c-b)G-a=0$
が成立する．(3) より $FG=-1$ で $F,G$ は実数だから $F\neq G$ となるので，
$F,G$ は $\lambda$ の2次方程式
$\lambda^2-(c-b)\lambda-a=0$
の2解となる．よって解と係数の関係から $-a=LM=-1$ となり $a=1$ となる．