[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1929-01-07

1929年(昭和4年)東京帝國大學工學部-數學[2]

2022.09.01記

[2] 曲線 $x=a(2\cos t+\cos 2t)$ ， $y=a(2\sin t-\sin 2t)$ ノ任意ノ點ニ於ケル切線ノ方程式ヲ求ム．

2022.09.07記

[解答]
$dx=-2a(\sin t+\sin 2t)dt$ ， $dy=2a(\cos t-\cos 2t)$
であるから，
$-2a(\sin t+\sin 2t)\{y-a(2\sin t-\sin 2t)\}$ $=2a(\cos t-\cos 2t)\{x-a(2\cos t+\cos 2t)\}$
となる． $a\neq 0$ として整理して
$(\cos t-\cos 2t)x+(\sin t+\sin 2t)y$ $=a(1-\cos 3t)$
となり，和積の公式と半角の公式から
$\left(2\sin\dfrac{3t}{2}\sin\dfrac{t}{2}\right)x$ $+\left(2\sin\dfrac{3t}{2}\cos\dfrac{t}{2}\right)y$
$=2a\sin^2\dfrac{3t}{2}$
つまり
$\left(\sin\dfrac{t}{2}\right)x$ $+\left(\cos\dfrac{t}{2}\right)y$ $=a\sin\dfrac{3t}{2}$
となる．