1929年(昭和4年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.09.01記

[1] 半徑 $1$ 米ナル半球ヲ其ノ底面ニ平行ナル平面ニテ截リ其ノ體積ヲ二等分セントス，底面ト截面トノ距離ヲ粍ノ位マデ算出セヨ．

2022.09.06記
粍はmm(ミリメートル)のこと．つまり小数第3位まで求めよということ．

[解答]
$2\displaystyle\int_0^x \pi (1-t^2)dt=\displaystyle\int_0^1 \pi (1-t^2)dt$
から
$2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)=\dfrac{2}{3}$
つまり
$f(x)=x^3-3x+1=0$ （ $0\lt x\lt 1$ ）
なる $x$ を求めれば良い．

$f'(x)\lt 0$ （ $0\lt x\lt 1$ ）， $f(0)=1\gt 0$ ， $f(1)=-1\lt 0$ よりこのような $x$ は唯一存在する．

(i) 根性で計算(通常はホーナー法、組立除法を用いるが形が単純なので)する．なお境目の計算だけ記載するが，実際はもう少し多くの計算をすることになるだろう．

$f(x)=x(x^2-3)+1$ であるから，
$f(0.3)=-0.3\times 2.91+1\gt 0$ ，
$f(0.4)=-0.4\times 2.84+1\lt 0$
より， $x=0.3\cdots$ である．
$f(0.34)=-0.34\times 2.8844+1=0.019304$ ，
$f(0.35)=-0.35\times -2.8775+1=-0.007125$
より， $x=0.34\cdots$ である．
$f(0.347)=-0.347\times 2.879591+1=0.000781923$ ，
$f(0.348)=-0.348\times 2.878896+1=-0.001855808$
より， $x=0.347\cdots$ である．よって求める答えは $34$ cm $7$ mm である．

(ii) ニュートン法で求める

$f''(x)\gt 0$ （ $0\lt x\lt 1$ ）よりニュートン法で求める．このとき， $y=f(x)$ の $x=t$ における接線
$y=3(t^2-1)(x-t)+t^3-3t+1$
と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $t+\dfrac{t^3-3t+1}{3(1-t^2)}$ であるから，
$x_{n+1}=x_n+\dfrac{x_n^3-3x_n+1}{3(1-x_n^2)}$ ， $x_0=0$ に従って数列を定めると
$x_1=\dfrac{1}{3}$ ，
$x_2=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{72}=\dfrac{25}{72}=0.347222\cdots$ ，
$x_3=\dfrac{170999}{492372}=0.34729635316\cdots$
となる．ここで
$f(0.348)=-0.001855808\lt 0$
だから， $0.34729\lt x\lt 0.348$ となり，よって求める答えは $34$ cm $7$ mm である．

(iii) $f(x)=x^3-3x+1=0$ なる $x$ の1つは $x=2\sin 10^{\circ}$ であることは有名．

$x=2\sin \theta$ （ $-90^{\circ}\leqq \theta\leqq 90^{\circ}$ ）とおくと
$f(2\sin\theta)=2(4\sin^3\theta-3\sin\theta)+1=-2\sin 3\theta +1=0$
から $\sin 3\theta=\dfrac{1}{2}$ となるので $\theta=-70^{\circ}，10^{\circ}, 50^{\circ}$ となるが，この中で $0\lt \sin\theta\lt 1$ をみたすのは $x=2\sin 10^{\circ}$ のみである．

$\theta=\dfrac{\pi}{18}$ とおくと， $\pi\lt 3.15$ から　 $\theta\lt 0.175=\dfrac{7}{40}$ となる．

Talyor の定理より $2\sin\theta=2\theta-\dfrac{\theta^3}{3}+\dfrac{2\cos c}{5!}\theta^5$ なる $c$ が存在するので $|\theta|\lt \dfrac{7}{40}$ の範囲において $2\sin\theta$ を $2\theta-\dfrac{\theta^3}{3}$ で近似した誤差は $\dfrac{2}{5!}\left(\dfrac{7}{40}\right)^5\lt \dfrac{50^2}{60\times 40^5}=\dfrac{1}{24576}\lt 0.00005$ 未満となる．

よって， $\theta=\dfrac{\pi}{18}\mbox{≒}0.1745$ の近似において $x\mbox{≒}2\theta-\dfrac{\theta^3}{3}=0.3472\cdots$ となり，よって求める答えは $34$ cm $7$ mm である．