1929年(昭和4年)東京帝國大學理學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.09.01記

[2] 二ツノ變數 $x$ 及ビ $y$ ノ間ニ $x^3+y^3=3xy$ ナル關係アルトキ， $x^2+y^2$ ノ極大値及ビ極小値ヲ索メヨ．

本問のテーマ

2022.09.06記
$y=mx$ との交点としてパラメータ表示するのは典型手法

[解答]
$z=x^2+y^2$ とおく．
$y=mx$ とおくと $(1+m^3)x^3=3mx^2$ となる．

(i) $x=0$ のとき， $y=0$ であるから $x^2+y^2=0$ である．

(ii) $x\neq 0$ のとき， $(x,y)=\left(\dfrac{3m}{1+m^3},\dfrac{3m^2}{1+m^3}\right)$ であるから，
$x^2+y^2=f(m)=\dfrac{9(m^2+m^4)}{(1+m^3)^2}$
となる．
$\dfrac{1}{9}f'(m)=\dfrac{(2m+4m^3) (1+m^3) -2(m^2+m^4)\cdot 3m^2}{(1+m^3)^3}$
$=\dfrac{-2m^3(m-1)(1+m+3m^2+m^3+m^4)}{(1+m^3)^3}$
となるが，
$1+m+3m^2+m^3+m^4=m^2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}+1\right)^2+\dfrac{5}{2}m^2\gt 0$
に注意すると

$m$	$-\infty$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\infty$
$f'(m)$	$0$	$+$	$+\infty/-\infty$	$-$	$(0)$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f(m)$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$	$\searrow$	$(0)$	$\nearrow$	$\dfrac{9}{2}$	$\searrow$	$0$

となるので， $(x,y)=0$ で極小値 $0$ ， $(x,y)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)$ で極大値 $\dfrac{9}{2}$ となる．

[解答]
$x^3+y^3=3xy$ …① のとき， $x=0$ ならば $y=0$ ， $y=0$ ならば $x=0$ であるから，原点以外では $xy\neq 0$ となる．

以下 $xy\neq 0$ とする．

ラグランジュの未定乗数法を用いる．
$L=x^2+y^2-\lambda(x^3+y^3-3xy)$ …② とおくと
$\dfrac{\partial L}{\partial x}=2x-\lambda(3x^2-3y)=0$ …③，
$\dfrac{\partial L}{\partial y}=2y-\lambda(3y^2-3x)=0$ …④
である．

③ $-$ ④から
$(x-y)\{2-3\lambda(x+y+1)\}=0$
が成立する．

(i) $x=y$ のとき $x=y=\dfrac{3}{2}$ ， $\lambda=\dfrac{4}{3}$ ， $L=\dfrac{9}{2}$

(ii) $x\neq y$ のとき $xy+x+y=0$ と①から
$-xy(x^2-xy+y^2)=3xy$ だから $x^2-xy+y^2=-3$ ，つまり $\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}=-3$ からこのような $(x,y)$ は存在しない．

以上から， $(x,y)=0$ で極小値 $0$ ， $(x,y)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)$ で極大値 $\dfrac{9}{2}$ となる．

[解答]
$x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$
とおくと
$r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3r^2\cos\theta\sin\theta$ のときの $r$ の極大、極小を考えれば良い．

(i) 曲線 $x^3+y^3=3xy$ は原点を通るので $r=0$ となり得る．このとき $x^2+y^2=r^2=0$ である．

(i) $r\neq 0$ のとき，
$x^2+y^2=r^2=\dfrac{9\cos^2\theta\sin^2\theta}{(\cos^3\theta+\sin^3\theta)^2}$
$=\dfrac{9\cos^2\theta\sin^2\theta}{(1+2\cos\theta\sin\theta)(1-\cos\theta\sin\theta)^2}$
であるから， $\cos\theta\sin\theta=u$ （ $-\dfrac{1}{2}\leqq u\leqq \dfrac{1}{2}$ ）とおくと
$x^2+y^2=\dfrac{9u^2}{(1+2u)(1-u)^2}$
となり，
$f(u)=\dfrac{(1+2u)(1-u)^2}{u^2}=\dfrac{1}{u^2}-3+2u$ の増減は

$u$	$-1/2$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1/2$
$f(u)$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$	$\searrow$	$2$
$9/f(u)$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$9/2$

となる．

よって $u=0$ （ $(x,y)=0$ ）で極小値 $0$ ， $u=\dfrac{1}{2}$ （ $(x,y)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)$ ）で極大値 $\dfrac{9}{2}$ となる．

$x^2+y^2=r^2=\dfrac{9\cos^2\theta\sin^2\theta}{(\cos^3\theta+\sin^3\theta)^2}$ $=\dfrac{9\tan^2\theta\sec^2\theta}{(1+\tan^3\theta)^2}$ $=\dfrac{9\tan^2\theta(1+\tan^2\theta)}{(1+\tan^3\theta)^2}$ で $m=\tan\theta$ とおくと $x^2+y^2=\dfrac{9m^2(1+m^2)}{(1+m^3)^2}$ となる．