[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[1] $x^5+ax^3+bx+c$ が極大値も極小値も持たないための條件を求めよ．

2019.02.26記

[解答] $f(x)=x^5+ax^3+bx+c$ とおく。 $f'(x)=5x^4+3ax^2+b=0$ が任意の $x$ に対して非負であれば良い。これを $x^2=X$ の多項式とみると、 $g(X)=5X^2+3aX+b$ が $X\geqq 0$ で非負となる条件を求めれば良い。

(1) $a\geqq 0$ のとき、軸が負または0であるから、 $b\geqq 0$ が必要十分。

(2) $a\lt 0$ のとき、軸が正であるから、 $9a^2-20b\leqq 0$ が必要十分。

よって、「 $a\geqq 0$ かつ $b\geqq 0$ 」または「 $a\lt 0$ かつ $9a^2-20b\leqq 0$ 」