1931年(昭和6年)東京帝國大學醫學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.08記

[2] 同一ノ直角座標軸ヲ用ヒテ方程式 $x^2+y^2=ax$ 及ビ $x^2+y^2=by$ ニテ表ハサレタル曲線ヲ畫キ且 $a$ ， $b$ ノ値如何ニ關セズ此二組ノ曲線ハ互ニ直角ニ交ハルコトヲ證明セヨ．

本問のテーマ

反転と等角写像

2022.08.10記

[解答]
$x^2+y^2=ax$ は $(0,0)$ と $(a,0)$ を直径とする円，
$x^2+y^2=bx$ は $(0,0)$ と $(0,b)$ を直径とする円であるから次図のようになる．

この2円の交点のうち，原点における接線はそれぞれ $y$ 軸， $x$ 軸であるから直交する．

また，2円は中心を結ぶ直線に関して線対称であるから，もう一方の交点における接線も直交する．

[大人の解答]
$x^2+y^2=ax$ は $(0,0)$ と $(a,0)$ を直径とする円，
$x^2+y^2=bx$ は $(0,0)$ と $(0,b)$ を直径とする円であるから次図のようになる(図は省略)．

この2円の交点のうち，原点における接線はそれぞれ $y$ 軸， $x$ 軸であるから直交する．

また，これらの2円を反転で移すとそれぞれ $x=\dfrac{1}{a}$ ， $y=\dfrac{1}{b}$ となるので，2直線の交点において直角に交わり，反転は等角写像であるから，もとの円の原点以外の交点も直交する．