1946年(昭和21年)東京帝國大學理学部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.02記

[1] 定楕圓に外切する矩形の對角線の長さは一定なることを證明せよ．

本問のテーマ

楕円の準円

2022.06.04記
楕円の準円の求め方(解決編) - 球面倶楽部零八式 mark II
をそのまま使う。

[解答]
楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の接線を $\displaystyle(\cos\theta) x+(\sin\theta) y=\frac{1}{r_1}$ とおくと、楕円の接線の公式から接点は $(a^2r_1\cos\theta,b^2r_1\sin\theta)$ となり、 $\displaystyle a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta=\frac{1}{r_1^2}$ が成立する。

この接線に直交する接線を $\displaystyle -(\sin\theta) x+(\cos\theta) y=\frac{1}{r_2}$ とおくと、 $\displaystyle a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta=\frac{1}{r_2^2}$ が成立する。

矩形の頂点は，これら2接線の交点であり，それは、接線の式の二乗和(束の考え方)もみたすので、
$\displaystyle x^2+y^2=\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}=a^2+b^2$
もみたす。よって矩形の4頂点は円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にある。

ここで楕円も矩形も点対称な図形であり，その中心は原点であるから，矩形の対角線の長さは $2\sqrt{a^2+b^2}$ で一定である．