[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1931-01-06

1931年(昭和6年)東京帝國大學工學部-數學[1]

2022.08.08記

[1] 直角座標軸を使用して，次ぎの二面
$x^2+y^2+2z^2=5，z-x-y=0$
の交わりの $xy$ 面上に於ける正射影を求め，且その正射影の包む面積を計算せよ．

本問のテーマ

$xy$ 平面への正射影
斜めの楕円の面積

2022.08.10記
斜めの楕円の面積については
斜めの楕円の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II
参照．

[解答]
2式から $z$ を消去した $x^2+y^2+2(x+y)^2=5$ ，つまり
$3x^2+4xy+3y^2=5$
が2面の交線の $xy$ 平面への正射影の方程式である．

楕円 $\dfrac{3}{5}x^2+2\cdot \dfrac{2}{5}xy+\dfrac{3}{5}y^2=1$ の囲む面積は $\dfrac{\pi}{\sqrt{\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}}=\sqrt{5}\pi$