[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1989年(昭和64年)東京大学-数学(文科)[4]

半径 $r$ の円 $\rm O$ のまわりに一辺の長さ $a$ の正三角形 $\rm ABC$ を円 $\rm O$ と同一平面内で次の二条件を満たしながら可能な限り移動させる．

(i) $\triangle\rm ABC$ は円 $\rm O$ の内部と共有点を持たず，円 $\rm O$ の周とただ一点を共有する．

(ii) ベクトル $\overrightarrow{\rm AB}$ ， $\overrightarrow{\rm BC}$ ， $\overrightarrow{\rm CA}$
はそれぞれ一定に保たれる．

このとき， $\triangle\rm ABC$ の通過し得る範囲を図示して，その面積 $S$ を求めよ．さらに， $\triangle\rm ABC$ の面積を $T$ とするとき， $r\to0$ としたときの極限値 $\displaystyle\lim_{r\to0}\dfrac{S}{T}$ を求めよ．

本問のテーマ

ミンコフスキー和　

2020.08.22記

ミンコフスキー和

[大人の解答]
半径 $r$ の円を $U(r)$ ，与えられた正三角形を $K$ とすると求める図形は $U(r)\oplus(K\ominus K)$ となる．

$K\ominus K$ は一辺 $a$ の正六角形だから，面積が $\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ であり，周の長さは $6r$ である．

よって $U(r)\oplus(K\ominus K)$ の面積は $\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}+6r\cdot r +\pi r^2$ となるので，求める面積は $S=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}+6r\cdot r$ となる．

$r\to 0$ とすると， $S$ は $K\ominus K$ の面積，つまり一辺が $a$ の正六角形の面積に近づき，これは $K$ の面積 $T$ の6倍だから，求める極限は 6

2021.01.24記
そういえば，大数2021年1月号の宿題にこのミンコフスキー和を使えば瞬殺となる問題が出題された．

2021.06.11記

懐しい資料が見つかった

問題の意味するところを理解して，図の概略が描ければよい．極限の部分は単に $r=0$ を代入するだけであるが，円 $\rm O$ が1点につぶれた場合に $\triangle\rm ABC$ の通過し得る範囲は正六角形となる．これは前半がわからなくても独立に求められるが，実は前半部分のヒントになっている．

2022.04.25記
栄光学園中学2021年算数にこの問題が出た．
2021年(令和3年)栄光学園中学-算数[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
こうやって東大入試は形を変えて中学入試に出ることになる．