1986年(昭和61年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[3] (1) $xyz$ 空間において，三点 $\mbox{A}\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$ ， $\mbox{B}\left(0,\dfrac{1}{2},1\right)$ ， $\mbox{C}(1,0,1)$ を通る平面 $\mbox{S}_0$ に垂直で，長さ $1$ のベクトル $\overrightarrow{n_0}$ をすべて求めよ．

(2) 二点 $\mbox{D}(1,0,0)$ ， $\mbox{E}(0,1,0)$ を通る直線 $l$ を軸として，平面 $\mbox{S}_0$ を回転して得られるすべての平面 $\mbox{S}$ を考える．このような平面 $\mbox{S}$ に垂直で長さ1のベクトル $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$ の $y$ 成分の絶対値 $|y|$ は $\mbox{S}$ と共に変化するが，その最大値および最小値を求めよ．

2020.12.14記

[解答]
外積を使っても、平面ABCの方程式を求めて法線ベクトルを求めても良い．いずれにせよ， $\vec{n_0}=\pm\dfrac{1}{3}(1,2,-2)$ 　となる．この単位ベクトルと $\vec{l}=(-1,1,0)$ の内積が一定であることから，このベクトルを回転させたベクトルの先端 $(x,y,z)$ は
$(x,y,z)\cdot(-1,1,1)=\vec{n_0}\cdot(-1,1,1)$
により，平面 $x-y=\dfrac{1}{3}$ または $x-y=-\dfrac{1}{3}$ 上にある．

また， $\vec{n_0}$ は単位ベクトルだから、 $x^2+y^2+z^2=1$ をみたす．