1932年(昭和7年)東京帝國大學工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.08記

[3]次の曲線上の原點より最も遠い點及び最も近い點に於ける曲率半徑を求む．
$x=a\cos nt+b\sin mt$ ， $y=a\sin nt+b\cos mt$

2022.08.08記

[解答]
$x^2+y^2=a^2+b^2+2ab\sin(m+n)t$ である．

(i) $a=0$ （ $b\neq 0$ とする）の場合，原点中心半径 $b$ の円となるので，原点から最も遠い点，近い点は円周上の全ての点であり，曲率半径は $b$

(ii) $b=0$ （ $a\neq 0$ とする）の場合，原点中心半径 $a$ の円となるので，原点から最も遠い点，近い点は円周上の全ての点であり，曲率半径は $a$

(iii) $ab\gt 0$ の場合， $\sin(m+n)t=1$ のときに原点から最も遠い点， $\sin(m+n)t=-1$ のときに原点から最も近い点となる．曲率半径 $R$ は
$R=\dfrac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{3/2}}{|\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}|}$
$=\dfrac{(a^2n^2+b^2m^2\mp 2abmn)^{3/2}}{|a^2n^3-b^2m^3\pm abmn(m-n)|}$
$=\dfrac{|an\mp bm|^3}{|(an^2\pm bm^2)(an\mp bm)|}$
$=\dfrac{|an\mp bm|^2}{|an^2\pm bm^2|}$
より，最も遠い点における曲率半径は $\dfrac{|an-bm|^2}{|an^2+bm^2|}$ であり，最も近い点における曲率半径は $\dfrac{|an+bm|^2}{|an^2-bm^2|}$ である．

(iv) $ab\lt 0$ の場合， $\sin(m+n)t=-1$ のときに原点から最も遠い点， $\sin(m+n)t=1$ のときに原点から最も近い点となるので，最も遠い点における曲率半径は $\dfrac{|an+bm|^2}{|an^2-bm^2|}$ であり，最も近い点における曲率半径は $\dfrac{|an-bm|^2}{|an^2+bm^2|}$ である．