1932年(昭和7年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.08記

[2] 次の三平面が一直線で交わるように $\lambda$ の値を定め，且つ其の直線の方程式を求めよ．
$(2\lambda-1)x+\lambda z=0$ ，
$(\lambda+1)x+(\lambda-1)y+2z=0$ ，
$(-\lambda+2)x+(-2\lambda+3)y+ (\lambda-2)z=0$

2022.08.08記

[解答]
3平面は原点を通るので，
$\begin{pmatrix} 2\lambda-1 & 0 & \lambda \\ \lambda+1 & \lambda-1 & 2 \\ -\lambda+2 & -2\lambda+3 & \lambda-2 \end{pmatrix}$ のランクが2であれば良い．

そのためには
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 2\lambda-1 & 0 & \lambda \\ \lambda+1 & \lambda-1 & 2 \\ -\lambda+2 & -2\lambda+3 & \lambda-2 \end{pmatrix}=0$ ，つまり， $\lambda=-2,1,2$ が必要である．

(i) $\lambda=-2$ のとき
$\begin{pmatrix} -5 & 0 & -2 \\ -1 & -3 & 2 \\ 4 & 7 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ から $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\parallel\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix}$ となり，直線の方程式は $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-4}=\dfrac{z}{-5}$

(ii) $\lambda=1$ のとき
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ から $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\parallel\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ となり，直線の方程式は $x=\dfrac{y}{-2}=-z$

(iii) $\lambda=2$ のとき
$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ から $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\parallel\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$
となり，直線の方程式は $\dfrac{x}{2}=\dfrac{z}{-3}$ かつ $y=0$