1932年(昭和7年)東京帝國大學理學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.08記

[2] 一平面上ニ點 $\rm P$ ，直線 $l$ 及ビ曲線 $C$ アリ， $l$ 上ノ任意ノ一點 $\rm Q$ ヨリ $C$ ニ切線ヲ引ケバ常ニ直線 $\rm PQ$ ニ垂直ナリトイフ， $C$ ハ如何ナル曲線ナルカ．

2022.08.08記

[解答]
$l$ を $x$ 軸とする． ${\rm P}$ が $l$ 上にあるとすると任意の $k$ に対して $x=k$ が $C$ の接線となり矛盾するので ${\rm P}$ が $l$ 上になく，よって ${\rm P}(0,1)$ としても一般性を失わない．

${\rm Q}(t,0)$ とおくと $C$ の接線の方程式は， $\rm Q$ を通り $\rm PQ$ に垂直な直線であるから， $t(X-t)-Y=0$ ，つまり $Y=tX-t^2$ となる．これを $t$ についての2次方程式をみると，この直線の包絡線の方程式は
$X^2-4Y=0$ ，つまり $Y=\dfrac{X^2}{4}$ となり，これが $C$ の方程式である．

以上から，曲線 $C$ は $\rm P$ を焦点とし， $l$ に垂直な軸をもち，頂点が $l$ 上にある放物線である．