1937年(昭和12年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

[1] $\varphi(x)=ax^2+bx+c$ ナルトキ，方程式
$\varphi(x)+\lambda(x-\alpha)=0$
ガ $\lambda$ ノスベテノ實數値ニ對シテ實根ヲ有スルタメニ必要且十分ナル條件ハ $\varphi(x)=0$ ガ實根ヲ有シ $\alpha$ ガソノ間ニアルコトナリ，之ヲ證明セヨ．但シ $a$ ， $b$ ， $c$ 及ビ $\alpha$ ハ実数トス．

2022.08.23記
$a=0$ の場合は別に考える必要があるが，グラフを描けばほぼ明らかである．ここでは計算主体で示しておく．

[解答]
(i) $a=0$ のとき：
$bx+c+\lambda(x-\alpha)=0$
が任意の $\lambda$ に対して実数解をもつ条件は $\lambda=-b$ の場合を考えて $c=-\lambda\alpha$ であることが必要で，このとき $(b+\lambda)(x-\alpha)=0$ 　となるので「 $\varphi(x)=0$ が実数解をもち $\alpha$ がその間にある」ことを満たす．

(ii) $a\neq 0$ のとき：
$\varphi(x)+\lambda(x-\alpha)=ax^2+(b+\lambda)x+c-\lambda\alpha=0$
が任意の $\lambda$ に対して実数解をもつ条件はを求めれば良い． $\lambda=0$ の場合を考えて2次方程式 $\varphi(x)=0$ が実数解をもつので $\varphi(x)=a(x-p)(x-q)$ （ $p,q$ は実数で $p\leqq q$ とする）と因数分解できる．
このとき,
$\varphi(x)+\lambda(x-\alpha)=ax^2+(b+\lambda)x+c-\lambda\alpha=0$
（ $b=-a(p+q)，c=apq$ ）
の判別式が任意の $\lambda$ に対して正または0であれば良い．

よって
$(b+\lambda)^2-4a(c-\lambda\alpha)$
$=\lambda^2+2(2a\alpha+b)\lambda + b^2-4ac$
$=(\lambda^2+2a\alpha+b)^2-(2a\alpha+b)^2 + b^2-4ac$
$=-4a(a\alpha^2+\beta\alpha+c)$ $\geqq 0$
から求める必要十分条件は
$a(a\alpha^2+b\alpha+c)=a^2(\alpha-p)(\alpha-q)\leqq 0$
であり， $a\neq 0$ より
$(\alpha-p)(\alpha-q)\leqq 0$
となり， $p\leqq \alpha\leqq q$ となるので，「 $\varphi(x)=0$ が実数解をもち $\alpha$ がその間にある」ことを満たす．