[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1937-01-04

1937年(昭和12年)東京帝國大學理學部-數學[3]

2022.08.11記

[3] $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin(2n-1)x}{\sin x}dx=\pi$ ナルコトヲ證明セヨ．但シ $n$ ハ正ノ整數トス．

2022.08.23記

[解答]
数学的帰納法で示す．

$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin(2n-1)x}{\sin x}dx$ とおく．

$n=1$ のとき， $I_1=\displaystyle\int_0^{\pi} 1 dx=\pi$ より成立．

$n=k$ のときに $I_k=\pi$ が成立すると仮定すると，
$I_{k+1}-I_k$ $=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin(2n+1)x-\sin(2n-1)x}{\sin x}dx$ $=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{2 \cos 2nx \sin x}{\sin x}dx$ $= 2\displaystyle\int_0^{\pi} \cos 2nx \,dx$ $=\dfrac{1}{n}\Bigl[\sin 2nx \Bigr]_0^{\pi}=0$
より $I_{k+1}=I_k=\pi$ となり， $n=k+1$ のときも成立する．

以上から帰納的に任意の自然数 $n$ について $I_n=\pi$ が成立する．