[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942-01-02

1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)理學部-數學[1]

2020.05.20記

[1] 直交軸ニ關スル楕圓體 $x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy =1$ ノ $xy$ 面ヘノ正射影ノ面積ヲ索メヨ．

2020.05.20記

[解答]
$z$ についての方程式 $z^2+(x+y)z+x^2+y^2+xy-1=0$ が実数解をもつような $(x,y)$ の集合が求める正射影であり、その方程式は、 $\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{3}{4}y^2\leqq 1$ となる。よってその面積は $\sqrt{2}\pi$ となる。

楕円の面積の計算には
斜めの楕円の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II
を用いたが，導きながら求めても良い．

[別解]
（途中から）
領域 $\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{3}{4}y^2\leqq 1$ ，つまり領域 $\dfrac{(x+y)^2}{2}+\dfrac{(x-y)^2}{4}\leqq 1$ の面積は楕円板 $\dfrac{X^2}{2}+\dfrac{Y^2}{4}\leqq 1$ の面積 $2\sqrt{2}\pi$ の $\left|\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right|$ 分の1倍の $\sqrt{2}\pi$ となる。