[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1948年(昭和23年)東京大学農学部-数学[3]

2020.04.03記

[3] \displaystyle\int\dfrac{xe^xdx}{(1+x)^2} を求む

2020.04.07記
答の \dfrac{e^x}{1+x}+C（C は積分定数）を微分すれば納得だけど、これを見抜くのは大変。

[解答]
求める不定積分をIとおくと、
\displaystyle I=\int\dfrac{xe^xdx}{(1+x)^2} \displaystyle =\int e^x \dfrac{(1+x)-1}{(1+x)^2}dx \displaystyle =\int e^x \left\{\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}\right\}dx

ここでf(x)=\dfrac{1}{1+x} とおくと
\displaystyle I=\int e^x \left\{f(x)+f'(x)\right\}dx
=e^xf(x)+C=\dfrac{e^x}{1+x}+C（C は積分定数）