[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1938年(昭和13年)東京帝國大學理學部-數學[1]

2022.07.24記

[1] 次ノ方程式ノ實根ノ箇數ヲ吟味セヨ．
$e^x=ax+b$
但シ $a$ 及ビ $b$ ハ實數トス．

2022.07.24記

[解答]
$a\lt 0$ のとき： $f(x)=e^x-(ax+b)$ は単調増加で
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ ， $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
であるから，1個

$a=0$ のとき： $f(x)=e^x-(ax+b)=e^x-b$ は単調増加で
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ， $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
であるから， $b\gt 0$ のとき1個で $b\leqq 0$ のとき0個

$a\gt 0$ のとき：傾き $a$ の接線の接点は $(\log a,a)$ だから傾き $a$ の接線の方程式は
$y=a(x-\log a)+a=ax+(a-a\log a)$
となるので， $b\gt a-a\log a$ のとき2個， $b=a-a\log a$ のとき1個， $b\lt a-a\log a$ のとき0個

となる．