[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科)[4]

2020.09.29記

[4] $x$ に関する方程式 $\dfrac{x}{9}-\sin\dfrac{\pi x}{6}=0$ の最大の根に，もっとも近い整数を求めよ．

2022.05.02記

[解答]
$x\gt 9$ において $\dfrac{x}{9}\gt 1\geqq \sin\dfrac{\pi x}{6}$ であるから解なし．

$3\leqq x\leqq 9$ において $\dfrac{x}{9}$ は $\dfrac{1}{3}$ から $1$ と単調に増加し， $\sin\dfrac{\pi x}{6}$ は $1$ から $-1$ に単調に減少するので，
$f(x)=\dfrac{x}{9}-\sin\dfrac{\pi x}{6}$ は単調増加であり，この範囲にただ1つの根をもつ．これが求める最大の根である．

$f(4.5)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lt 0$ ， $f(5)=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}\gt 0$

であるから，最大の根は4.5と5の間にある．ゆえに求める整数は $5$ である．

$(3,1)$ と $(6,0)$ の間で $\sin\dfrac{\pi x}{6}$ は上に凸だから，この2点を結ぶ直線 $y=-\dfrac{1}{3}x+2$ と $y=\dfrac{x}{9}$ の交点の $x$ 座標である $4.5$ よりも $\alpha$ は大きく， $x=6$ における接線 $y=-\dfrac{\pi}{6}(x-6)$ との交点の $x$ 座標である $\dfrac{18\pi}{3\pi+2}=4.949\cdots$ よりも小さいことがわかる．

もちろん，入試問題としては $\sin\dfrac{\pi x}{6}$ が値として求まる $x$ を代入せざるを得ないので， $x$ として $0.5$ の倍数を代入していくのが順当である．