1938年(昭和13年)東京帝國大學理學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[3] 次の積分の値を求む．
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}dx$

2022.07.30記
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}dx$ $=\Bigl[ \dfrac{x}{1+e^{-x}}\Bigr]_0^{\infty}-\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1+e^{-x}}dx$
とすると最初の積分が $-\infty -0$ となってしまってうまくいかない．代入せずに
$\dfrac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}dx$ $=\dfrac{x}{1+e^{-x}}-\displaystyle\int \dfrac{1}{1+e^{-x}}dx$ $=\dfrac{x}{1+e^{-x}}-\displaystyle\int \dfrac{e^x}{e^x+1}dx$ $=\dfrac{x}{1+e^{-x}}-\log (e^x+1)+C$
のように原始関数を求めても，このままではうまくいかない．さらに
$=\dfrac{x}{1+e^{-x}}-x+x-\log (e^x+1)+C$ $=\dfrac{-xe^{-x}}{1+e^{-x}}+\log e^x-\log (e^x+1)+C$ $=\dfrac{-x}{e^x+1}+\log \dfrac{e^x}{e^x+1}+C$
まで計算すると $x=0,\infty$ の極限計算がうまくいく．

[解答]
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{xe^{x}}{(e^x+1)^2}dx$ $=\Bigl[ -\dfrac{x}{e^x+1}\Bigr]_0^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{e^x+1}dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx$ $=\Bigl[ -\log(1+e^{-x})\Bigr]_0^{\infty}$ $=0-(-\log 2)=\log 2$