1939年(昭和14年)東京帝國大學工學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[1] $D_n= \left| \begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & \cdots & x^n \\ x^n & 1 & x & x^2 & \cdots & x^{n-1} \\ x^{n-1} & x^n & 1 & x & \cdots & x^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x^2 & x^3 & x^4 & \cdots & 1 \end{matrix} \right|$ なるとき，級數： $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^nD_n$ は $0\leqq x\leqq 1$ なる $x$ に對し収斂することを證明せよ．

本問のテーマ

巡回行列

2022.08.06記
巡回行列については
巡回行列 - Wikipedia
参照のこと．

[大人の解答]
与えられた巡回行列の固有値は $\omega_j=\exp\left(\dfrac{2\pi j}{n+1} \right)$ （ $j=0,\ldots,n$ ）
を用いて
$1+x\omega_j+x^2\omega_j^2+\cdots +x^{n}\omega_j^{n}=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\omega_j}$
（ $j=0,\ldots,n$ ）
であるから，
$D_n=\dfrac{(1-x^{n+1})^{n+1}}{\displaystyle\prod_{j=0}^n (1-x\omega_j)}$ $=(1-x^{n+1})^{n}$
（∵ $\displaystyle\prod_{j=0}^n (1-x\omega_j)=1-x^{n+1}$ ）
となる．よって
$x^nD_n=\{x(1-x^{n+1})\}^n$
となり， $0\leqq x\leqq 1$ において $0\leqq x^n D^n \leqq x^n$ をみたす．
よって $S_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n D_n$ は単調増加であり，
$S_n\leqq \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n$ $\leqq \dfrac{x}{1-x}$
から上に有界であるから， $S_n$ は収束する．

[解答]
$\omega_j=\exp\left(\dfrac{2\pi j}{n+1} \right)$ （ $j=0,\ldots,n$ ）とする．

第 $1$ 行に，第 $k$ 行の $\omega_j^k$ 倍（ $k=2,\ldots,n+1$ ）を加えることにより，
$D_n=(1+\omega_j x+\cdots+x^n\omega_j^n) \left| \begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & \cdots & x^n \\ \omega_j & 1 & x & x^2 & \cdots & x^{n-1} \\ \omega_j^2 & x^n & 1 & x & \cdots & x^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \omega_j^n & x^2 & x^3 & x^4 & \cdots & 1 \end{matrix} \right|$
となるので，
$D_n$ は $1+\omega_j x+\cdots+x^n\omega_j^n$ （ $j=0,\ldots,n$ ）
を因数にもつ． $D_n$ の最高次の項は $1\cdots (x^n)^{n+1}=x^{n(n+1)}$ であるから，
$D_n=\displaystyle\prod_{j=0}^n (1+\omega_j x+\cdots+x^n\omega_j^n)$ $=\displaystyle\prod_{j=0}^n\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\omega_j}$ $=\dfrac{(1-x^{n+1})^{n+1}}{\displaystyle\prod_{j=0}^n (1-x\omega_j)}$ $=(1-x^{n+1})^{n}$
が成立する．よって
$x^nD_n=\{x(1-x^{n+1})\}^n$
となり， $0\leqq x\leqq 1$ において $0\leqq x^n D^n \leqq x^n$ をみたす．
よって $S_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n D_n$ は単調増加であり，
$S_n\leqq \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n$ $\leqq \dfrac{x}{1-x}$
から上に有界であるから， $S_n$ は収束する．