[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1940-01-12

1940年(昭和15年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2]

2022.07.20記

[2] $x$ ガ大ナル時ハ $\log (x+1)$ ハ殆ンド $\log x+\dfrac{2}{2x+1}$ ニ等シキコトヲ證明セヨ．

2022.07.24記

[解答]
$x$ が大きいときに
$\log(x+1)-\log x=\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ と $\dfrac{2}{2x+1}$ がほぼ等しいことを示せば良く，
$x=\dfrac{1}{t}$ とおくと， $t$ が小さいときに
$\log(1+t)$ と $\dfrac{2t}{2+t}$ がほぼ等しいことを示せば良い．

ここで
$\log(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}+o(t^3)$
であり，
$\dfrac{2t}{2+t}=t\cdot\dfrac{1}{1+(t/2)}$ $=t\left(1-\dfrac{t}{2}\right)+o(t^2)$ $=t-\dfrac{t^2}{2}+o(t^3)$
であるから，
$\log(1+t)-\dfrac{2t}{2+t}=o(t^3)$
となり， $t$ が小さいときに
$\log(1+t)$ と $\dfrac{2t}{2+t}$ がほぼ等しい．