1940年(昭和15年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.20記

[2] $x$ が $1$ より小さい値から $1$ に限りなく近づくとき，次の函數の採るべき極限値を求めよ．
$\dfrac{\dfrac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}}{\log\dfrac{1}{x}}$

2022.07.24記

[解答]
$x$ が1より小さい値から1に近づけた極限を考えるので， $x=\cos\theta$ とおくと
$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{\dfrac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}}{\log\dfrac{1}{x}}$
$=\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\dfrac{\dfrac{\theta}{\sin\theta}-\dfrac{1}{3}\cos^2\theta-\dfrac{2}{3}}{-\log\cos\theta}$
$=\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\dfrac{3\theta-\sin\theta\cos^2\theta-2\sin\theta}{-3\sin\theta\log\cos\theta}$
$=\displaystyle\lim_{\theta\to +0}$ $\dfrac{3\theta-\left(\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3\right)\left(1-\dfrac{1}{2}\theta^2\right)^2-2\left(\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3\right)+o(\theta^4)}{-3\left(\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3+o(\theta^4)\right)\log\left(1-\dfrac{1}{2}\theta^2+o(\theta^4)\right)}$
$=\displaystyle\lim_{\theta\to +0}$ $\dfrac{3\theta-\left(\theta-\dfrac{7}{6}\theta^3\right)-2\left(\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3\right)+o(\theta^4)}{3\left(\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3\right)\cdot \dfrac{1}{2}\theta^2+o(\theta^4)}$
$=\displaystyle\lim_{\theta\to +0}$ $\dfrac{\dfrac{3}{2}\theta^3+o(\theta^4)}{\dfrac{3}{2}\theta^3+o(\theta^4)}$ $=1$

[別解]
$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{\dfrac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}}{\log\dfrac{1}{x}}$
$=\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{3\cos^{-1}x-(x^2+2)\sqrt{1-x^2}}{-3\sqrt{1-x^2}\log x}$
は分子分母が $0$ に近づく不定形の極限であるから，ロピタルの定理により
$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{3\cos^{-1}x-(x^2+2)\sqrt{1-x^2}}{-3\sqrt{1-x^2}\log x}$
$=\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{\dfrac{3(1-x^3)}{\sqrt{1-x^2}}}{-\dfrac{3(1-x^2-x^2\log x)}{x\sqrt{1-x^2}}}$
$=\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{x-x^4}{1-x^2-x^2\log x}$
となるが，これも分子分母が $0$ に近づく不定形の極限であるから，さらにロピタルの定理により，その極限は
$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\dfrac{1-4x^3}{-3x-2x\log x}=\frac{-3}{-3}=1$