1940年(昭和15年)東京帝國大學工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.20記

[3] 次の積分を計算せよ．

(a) $\displaystyle\int\dfrac{3x^2-3x+2}{x^3-3x^2+x-3}dx$

(b) $\displaystyle\int\dfrac{1}{2+\cos x+\sin x}dx$

2022.07.24記

[解答]
(a) $\dfrac{3x^2-3x+2}{x^3-3x^2+x-3}=\dfrac{3x^2-3x+2}{(x-3)(x^2+1)}$ $=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$ とおくと
$3x^2-3x+2=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-3)$
となり， $x=3$ を代入して $20=10A$ から $A=2$
よって $x^2-3x=(Bx+C)(x-3)$ となり， $B=1,C=0$ となる．

よって
$\displaystyle\int\dfrac{3x^2-3x+2}{x^3-3x^2+x-3}dx$
$=\displaystyle\int\dfrac{2}{x-3}dx$ $+\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+1}dx$
$=2\log|x-3|+\dfrac{1}{2}\log(x^2+1)+(積分定数)$

(b) $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと
$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}dt$ ， $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}dt$ ， $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ であるから，
$\displaystyle\int\dfrac{1}{2+\cos x+\sin x}dx$ $=\displaystyle\int\dfrac{2}{t^2+2t+3}dt$
$=\displaystyle\int\dfrac{2}{(t+1)^2+2}dt$ $=2\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mbox{Arctan}\,\dfrac{t+1}{\sqrt{2}}+(積分定数)$ $=\sqrt{2}\mbox{Arctan}\,\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}+1}{\sqrt{2}}+(積分定数)$