[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1941年(昭和16年)東京帝國大學工學部-數學[2]

2022.06.01記

[2] x=0，x=a，y=0，y=b，z=0，z=c なる面により圍まれた立體の垂直投影面積が最大になるやうな平面及びその最大投影面積を求めよ。

2022.06.01記

[解答]
投影図は六角形で，その面積は3つの対角線を3辺とする三角形の射影の面積の2倍である．よってその面積の最大値は，3つの対角線を3辺とする三角形の面積の2倍である。
{\rm O}(0,0,0),{\rm A}(a,0,0),{\rm B}(0,b,0),{\rm C}(0,0,c) からなる四面体の體積は V=\dfrac{abc}{6} であり，原点から平面\rm ABCへの距離は h=\dfrac{1}{\sqrt{(1/a)^2+(1/b)^2+(1/c)^2}} であるから，
三角形\rm ABCの面積は
S=\dfrac{3V}{h}=\dfrac{abc\sqrt{(1/a)^2+(1/b)^2+(1/c)^2}}{2}
=\dfrac{\sqrt{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}}{2}
となり，よって求める最大値はその2倍の
\sqrt{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}