[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1941年(昭和16年)東京帝國大學理學部-數學[3]

2022.06.01記

[3] 平面上ニ於ケル長サ [tex：\pi] ナル線分 \rm AB 上ノ各點 [tex\rm P] ヲ中心トシ半徑ガ \sin{\rm AP}ナル圓ヲ畫クトキ，コレ等ノ圓ニヨリテ掃過セラルル面積ヲ計算セヨ。

2022.06.01記

[解答]
{\rm A}(0,0)，{\rm B}(\pi,0)，{\rm A}(t,0)（0\leqq t\leqq \pi）とするとき，円の方程式は
(x-t)^2+y^2=\sin^2 t
であるから，包絡線の方程式は，
-2(x-t)=2\sin t\cos t
と連立させて
x=t-\sin t\cos t，y=\pm \sin^2 t
とパラメータ表示されるので，求める面積は
2\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 t(1-\cos^2 t+\sin^2 t)\,dt=2\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin^4 t\,dt=8\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\,dt=8\cdot\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac{3\pi}{2}

\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\,dt=\dfrac{3\pi}{16} は Wallis の公式から．